最长公共子序列【线性DP】

题目链接：897. 最长公共子序列

给定两个长度分别为N和M的字符串A和B，求既是A的子序列又是B的子序列的字符串长度最长是多少。

输入格式
第一行包含两个整数N和M。

第二行包含一个长度为N的字符串，表示字符串A。

第三行包含一个长度为M的字符串，表示字符串B。

字符串均由小写字母构成。

输出格式
输出一个整数，表示最大长度。

数据范围
1≤N≤1000

输入样例：
4 5
acbd
abedc

输出样例：
3

程序说明：

dp[i][j]表示第一个序列的前 i 个字母和第二个序列的前 j 个字母所对应的公共子序列长度，虽然可以分成四部分即 dp[i - 1][j - 1] dp[i - 1][j] dp[i][j - 1] dp[i - 1][j - 1] + 1 但是中间两种情况已经包含了第一种情况，第一种情况不会取到最大。因此有递推式：

$dp[i][j]= \begin{cases} max(dp[i - 1][j - 1] + 1, dp[i][j])& \text{a[i] = b[j]}\\ max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])& \text{其他} \end{cases}$

代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;

char a[N], b[N];
int dp[N][N], n, m;
int main() {
	cin>>n>>m>>a + 1>>b + 1;
	
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		for(int j = 1; j <= m; j++) {
			dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
			if(a[i] == b[j]) dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - 1] + 1, dp[i][j]);
		}
		
	cout<<dp[n][m]<<endl;
	return 0;
}