洛谷 P5686 [CSP-SJX2019]和積和

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思路

應用多個前綴和推出式子即可

$30pts$：
首先如果暴力算的話很簡單，直接套三層循環就好了(真的是三層！！最後兩個$sigma$一起算就好了)
$\sum_{l = 1}^{n}\sum_{r = l}^{n}\sum_{i = l}^{r}a[i]\sum_{i = l}^{r}b[i]$

$70pts$：
其實不用這麼麻煩，我們發現最後兩個$sigma$可以用前綴和$O(1)$算出來，這樣就可以$70$分了（見代碼$sub1$）

$100pts$：
考慮再拆一層循環（這裏用$SA$和$SB$數組表示70分鐘$a$數組和$b$數組的前綴和）

我覺得你可以自己展開式子（畢竟不能太懶嘛）

然後就會得到這樣一個式子

$\sum_{l = 1}^{n}(SA[l] * SB[l] + SA[l + 1] * SB[l + 1] + ...+SA[n] * SB[n]) - (SA[l] + SA[l + 1] + ... + SA[n]) * SB[l - 1]$
$- (SB[l] + SB[l + 1] + ... + SB[n]) * SA[l - 1] + (n - l + 1) * SA[l - 1] * SB[l - 1]$

我們發現這些東西基本都可以用前綴和再求一遍，所以我們要求一下$(SA[l] * SB[l] + SA[l + 1] * SB[l + 1] + ...+SA[n] * SB[n])$的前綴和（代碼中爲$woc$數組），求一下$SA$數組的前綴和（代碼中爲$qza$數組），求一下$SB$數組的前綴和（代碼中爲$qzb$數組），然後就可以$O(n)$做這道題啦

下面上代碼

代碼

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define int long long
using namespace std;

const int A = 5e5 + 11;
const int mod = 1e9 + 7;

inline int read() {
	char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
	for( ; !isdigit(c); c = getchar()) if(c == '-') f = -1; 
	for( ; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - 48;
	return x * f;
}

int n, a[A], b[A], ans = 0, SA[A], SB[A], qza[A], qzb[A];
int woc[A];

void sub1() {
	for(int l = 1; l <= n; l++) {
		for(int r = l; r <= n; r++) {
			ans = (ans + ((SA[r] - SA[l - 1]) % mod + mod) % mod * ((SB[r] - SB[l - 1]) % mod + mod)) % mod;
		}
	}
	cout << ans << '\n';
	return;
}

signed main() {
	n = read();
	for(int i = 1; i <= n; i++) a[i] = read(), SA[i] = (SA[i - 1] + a[i]) % mod;
	for(int i = 1; i <= n; i++) b[i] = read(), SB[i] = (SB[i - 1] + b[i]) % mod;
	if(n <= 3000) return sub1(), 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++) woc[i] = (woc[i - 1] + SA[i] * SB[i]) % mod; 
	for(int i = 1; i <= n; i++) qza[i] = (qza[i - 1] + SA[i]) % mod; 
	for(int i = 1; i <= n; i++) qzb[i] = (qzb[i - 1] + SB[i]) % mod;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		int fuck1 = ((woc[n] - woc[i - 1]) % mod + mod) % mod;
		int fuck2 = ((qza[n] - qza[i - 1]) % mod + mod) % mod * SB[i - 1] % mod;	
		int fuck3 = ((qzb[n] - qzb[i - 1]) % mod + mod) % mod * SA[i - 1] % mod;
		int fuck4 = (((n - i + 1) % mod * SA[i - 1] % mod * SB[i - 1]) % mod + mod) % mod;
		int now = fuck1 - fuck2 - fuck3 + fuck4;
		ans = ((ans + now % mod) % mod + mod) % mod;
	}
	cout << ans << '\n';
	return 0;
}