最大子矩陣和

轉載自：beiyeqingteng的博客

前言：

今天花了很長時間，看了無數人寫的帖子，但是幾乎沒有人把這個問題一下子說得很清楚，所以，我把這個問題按照自己的思路寫出來，希望能夠把這個問題講清楚。

問題：

求一個M*N的矩陣的最大子矩陣和。
比如在如下這個矩陣中：
 0 -2 -7  0
 9  2 -6  2
-4  1 -4  1
-1  8  0 -2 
擁有最大和的子矩陣爲：
 9 2
-4 1
-1 8
其和爲15。

思路：

首先，這個子矩陣可以是任意大小的，而且起始點也可以在任何地方，所以，要把最大子矩陣找出來，我們要考慮多種情況。

假定原始矩陣的行數爲M，那麼對於子矩陣，它的行數可以是1到M的任何一個數，而且，對於一個K行（K < M）的子矩陣，它的第一行可以是原始矩陣的第1行到 M - K + 1 的任意一行。

例子：

對於上面的矩陣，如果子矩陣的行數是2，那麼它可以是下面幾個矩陣的子矩陣：

 0 -2 -7  0
 9  2 -6  2

或者

 9  2 -6  2
-4  1 -4  1

或者

-4  1 -4  1
-1  8  0 -2 

在每一種情況裏（我們這裏有三種），我們還要找出一個最大的子矩陣，當然，這只是一種情況的最大子矩陣（局部最大），不一定是global最大。但是，如果我們知道每一種情況的最大，要找出global最大，那就小菜一碟兒了。

在講在一個特殊情況下求最大子矩陣之前，先講一個事實：

假設這個最大子矩陣的維數是一維，要找出最大子矩陣, 原理與求“最大子段和問題” 是一樣的。最大子段和問題的遞推公式是 b[j]=max{b[j-1]+a[j], a[j]}，b[j] 指的是從0開始到j的最大子段和。

例子：

假設原始矩陣爲：[9，  2， -6，  2]， 那麼b[] = {9, 11, 5, 7}, 那麼最大字段和爲11， 如果找最大子矩陣的話，那麼這個子矩陣是 [9， 2] 

求最大子段和的代碼如下：

public int maxSubsequence(int[] array) {
        if (array.length == 0) {
            return 0;
        }
        int max = Integer.MIN_VALUE;
        int[] maxSub = new int[array.length];
        maxSub[0] = array[0];

        for (int i = 1; i < array.length; i++) {
            maxSub[i] = (maxSub[i-1] > 0) ? (maxSub[i-1] + array[i]) : array[i];
            if (max < maxSub[i]) {
                max = maxSub[i];
            }
        }
        return max;
    }

但是，原始矩陣可以是二維的。假設原始矩陣是一個3 * n 的矩陣，那麼它的子矩陣可以是 1 * k, 2 * k, 3 * k，（1 <= k <= n）。 如果是1*K，這裏有3種情況：子矩陣在第一行，子矩陣在第二行，子矩陣在第三行。如果是 2 * k，這裏有兩種情況，子矩陣在第一、二行，子矩陣在第二、三行。如果是3 * k，只有一種情況。

爲了能夠找出最大的子矩陣，我們需要考慮所有的情況。假設這個子矩陣是 2 *k, 也就是說它只有兩行，要找出最大子矩陣，我們要從左到右不斷的遍歷才能找出在這種情況下的最大子矩陣。如果我們把這兩行上下相加，情況就和求“最大子段和問題” 又是一樣的了。

爲了找出在原始矩陣裏的最大子矩陣，我們要遍歷所有的子矩陣的可能情況，也就是說，我們要考慮這個子矩陣有可能只有1行，2行，。。。到n行。而在每一種情況下，我們都要把它所對應的矩陣部分上下相加才求最大子矩陣（局部）。

比如，假設子矩陣是一個3*k的矩陣，而且，它的一行是原始矩陣的第二行，那麼，我們就要在

 9  2 -6  2
-4  1 -4  1
-1  8  0 -2 

裏找最大的子矩陣。

如果把它上下相加，我們就變成了 4, 11, -10,1， 從這個數列裏可以看出，在這種情況下，最大子矩陣是一個3*2的矩陣，最大和是15.

爲了能夠在原始矩陣裏很快得到從 i 行到 j 行 的上下值之和，我們這裏用到了一個輔助矩陣，它是原始矩陣從上到下加下來的。

假設原始矩陣是matrix, 它每一層上下相加後得到的矩陣是total，那麼我們可以通過如下代碼實現：

int[][] total = matrix;
for (int i = 1; i < matrix[0].length; i++) {
    for (int j = 0; j < matrix.length; j++) {
    total[i][j] += total[i-1][j];
    }
}

如果我們要求第 i 行到第 j 行之間上下值的和，我們可以通過total[j][k] - total[i-1][k] 得到, k 的範圍從1 到 matrix[0].length - 1。

有了這些知識點，我們只需要在所有的情況下，把它們所對應的局部最大子矩陣進行比較，就可以得到全局最大的子矩陣。代碼如下：

public int subMaxMatrix(int[][] matrix) {

        int[][] total = matrix;
        for (int i = 1; i < matrix[0].length; i++) {
            for (int j = 0; j < matrix.length; j++) {
                total[i][j] += total[i-1][j];
            }
        }

        int maximum = Integer.MIN_VALUE;
        for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {
            for (int j = i; j < matrix.length; j++) {
                //result 保存的是從 i 行 到第 j 行 所對應的矩陣上下值的和
                                int[] result = new int[matrix[0].length];
                for (int f = 0; f < matrix[0].length; f++) {
                    if (i == 0) {
                        result[f] = total[j][f];
                    } else {
                        result[f] = total[j][f] - total[i - 1][f];
                    }
                }
                int maximal = maxSubsequence(result);

                if (maximal > maximum) {
                    maximum = maximal;
                }
            }
        }

        return maximum;
    }