首先我想講一下網絡流的基礎。
第一，要明白一些基礎的概念，否則對後面的理解會有一定的影響。這裏只列出常用的，列太多會影響閱讀效率的。
底圖：如果把一個有向圖的每條邊的方向都去掉，得到的無向圖稱爲原有圖的底圖。
途徑：圖G中點邊連續交替出現的序列稱爲G的一條途徑。
跡：圖G中邊不重複出現的途徑稱爲跡。
路：圖G中頂點不重複出現的跡稱爲路。
網絡的基本概念：
定義：一個網絡N=(V,A)是指一個連通無環且滿足下列條件的有向圖：
1.有一個定點子集X,其每個頂點的入度都是0；
2.有一個與X不相交的頂點子集Y，其每個頂點的出度都爲0；
3.每條弧都有一個非負的權值，稱爲弧的容量。
上述網絡N記作N(V,X,Y,A,C)，其中X爲網絡的源點集，Y稱爲網絡的匯點集，V和A分別稱爲頂點集和弧集。C爲網絡的容量函數。
網絡的可行流：
網絡N=(V,X,Y,A,C)中的一個可行流是指定義在A上的一個整值函數f,使得：
1.對任意a屬於A,0<=f(a)<=c(a)(容量約束)；
2.對任意v屬於 V-(XUY)，f(v)=f’(v)（流量守恆）；
其中f(v)表示點v的入弧的流量之和，f’(v)表示點v的出弧的流量之和。
最大流最小割定理：在任一網絡中，最大流的流量等於最小割的容量。
此定理對於如何求最大流並沒有什麼用處，但是可以用他來證明最大流的正確性。
最大流的求解：
求網絡中的最大流基本思想都是不斷地增加流量，直到不能再增加爲止。這就引入了可增路的概念。
路：設u,v是網絡N中任意兩點，P是N的底圖中的一條連接uv的路，若規定P的走向爲從u到v，則稱這樣規定了走向的路P爲網絡N中一條從u到v的路，簡稱u-v路。特別的，一條從源點x到匯點y的路稱爲x-y路。
正向弧就是路中的邊在原圖中是否是正向弧。不是就是反向弧。
可增路：假設f是網絡的一個可行流，u是N中任意一點，P是網絡N中的一條x-u路，如果對路P上的任一弧a,都有：
1.若弧a是P的正向弧，則c(a)-f(a)>0;
2.若弧a是P的反向弧，則f(a)>0;
則P稱爲N的一條可增x-u路。特別的，一條f可增x-y路稱爲 N的一條f可增路。
對於N中任意一條f可增路P和P上任意一條弧a,假設
△f(a)= c(a)-f(a) （正向弧）
f(a) (反向弧)
則可增路的可增加流量爲△f(P)=min{△f(a)};稱爲可增量。
最大流Dinic算法：
Dinic算法利用分層的思想對網絡進行一些處理，簡化了一些操作。
1.增量網絡（殘餘網絡）
對於網絡N和N上的可行流f,構造一個新的網絡N(f)=(V,X,Y,A(f),C’)中A(f)及容量函數C’定義如下：
(爲何這麼詭異，把這句好敲出來博客頁面就顯示不出下面的兩張圖和部分文字。。無奈，只好截圖了。。。噗噗噗。。)
2.若(u,v)屬於A並且f(u,v)>0,則(v,u)屬於A(f)，並且c’(u,v)=f(u,v);
分層就是bfs一遍掃描網絡，求出每個點到源點的最短距離。
對分層後的網絡進行下一步的操作就可以得到輔助網絡。
輔助網絡：對於增量網絡N(f)進行分層後，刪除層數不低於y的頂點，再刪除從高層指向低層的弧和同層之間的弧。
其實代碼中並沒有很清晰的看到輔助網絡的身影，直接是bfs分層，dfs計算△f(a)，直到bfs不能達到匯點。
好了，說一下本題的題意吧。
題意：就是在一個網格中有些是羊，有兩個是灰太狼和紅太狼，問怎樣用最少的欄杆攔截使小羊安全。
分析：
每個點都有向相鄰點的連線，容量爲1，狼都連向匯點，羊都連向源點，容量爲inf。求最大流。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
#define read freopen("q.in","r",stdin)
#define maxn 40004
#define inf 0x7fffffff
int edgeNum,n,m;
int d[maxn],head[maxn];
struct Edge
{
int to,flow,next;
}edge[maxn*4];
int from,to;
void add(int u,int v,int flow)
{
edge[edgeNum].to=v;edge[edgeNum].flow=flow;edge[edgeNum].next=head[u];head[u]=edgeNum++;
edge[edgeNum].to=u;edge[edgeNum].flow=0;edge[edgeNum].next=head[v];head[v]=edgeNum++;
}
bool bfs()
{
memset(d,0,sizeof(d));
int i,k,j;
queue<int> q;
d[from]=1;
q.push(from);
while(!q.empty())
{
int u=q.front();q.pop();
for(i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
{
int v=edge[i].to;
if(!d[v] && edge[i].flow>0)
{
d[v]=d[u]+1;
q.push(v);
if(v==to)return true;
}
}
}
return false;
}
int dfs(int u,int flow)
{
if(u==to || flow==0)return flow;
int i,j,k;
int cap=flow;
for(i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
{
int v=edge[i].to;
if(d[v]==d[u]+1 && edge[i].flow>0)
{
int x=dfs(v,min(cap,edge[i].flow));
cap-=x;
edge[i].flow-=x;
edge[i^1].flow+=x;
if(cap==0)return flow;
}
}
return flow-cap;
}
int dinic()
{
int sum=0;
while(bfs())sum+=dfs(from,inf);
return sum;
}
int main()
{
// read;
int i,j,x,cas=1;
while(~scanf("%d%d",&n,&m))
{
from=n*m+1;to=n*m+2;
edgeNum=0;
memset(head,-1,sizeof(head));
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=m;j++)
{
scanf("%d",&x);
if(x==1)add(from,(i-1)*m+j,inf);
if(x==2)add((i-1)*m+j,to,inf);
if(i-1>=1 )add((i-1)*m+j,(i-2)*m+j,1);
if(j-1>=1 )add((i-1)*m+j,(i-1)*m+j-1,1);
if(i+1<=n )add((i-1)*m+j,i*m+j,1);
if(j+1<=m )add((i-1)*m+j,(i-1)*m+j+1,1);
}
}
int res=dinic();
cout<<"Case "<<cas++<<":\n"<<res<<endl;
}
}
ps：我覺得講算法附上代碼很重要。