重温矩阵（I） 矩阵与线性变换

关于为什么写这些文章：

数学专业毕业已久，总想为以前所学做个纪念，而苦于找不到一个入口。最近研究所需又重新接触到了原先所学的矩阵方面知识。温故而知新，有感而发便想把自己想到的东西写下来，于是利用几天的空余时间写下自己的感想，谁知越写越多，主题便随之不明确起来，干脆分成若干段来写。随着主题增多，我发现每一个主题我都无法讲的很好，仿佛隔靴挠痒蜻蜓点水一般，现在我仿佛发现了为什么主题多往往都是泛泛而谈的道理了。主题多了我的知识储备完全达不到能够深入浅出的程度，往往落到自己想写的想法而自己有无法确认的境地，在重新翻看书本以及在网上搜寻各种名词的过程中，我发现了很多主题相关的文章，如<漫谈高数系列>文章就是其中的好文，读之有如第一次读到林达华的博客的感想：那是一种望尘莫及与望洋兴叹的失落感：我想到的他们全想到了，我没想到的，他们都想到了。

回首看看自己已经写了的几篇，已经快成为了“拾人牙慧”，因此，有心发到自己的QQ上也算是一种勇气吧。倘若它时回过头来，倒也算作一种纪念吧。

 

想来数年前看过电影《MATRIX》（中文译名如雷贯耳：黑客帝国），感觉不同凡响。如果说数学能给人带来什么？夸大一点，数学可以让你拥有救世主NEO一样洞穿世界的能力：眼中的世界不是表象，而是本质：一个矩阵

不过为了严谨些，neo眼中的世界是个计算机虚拟的产物，本质是个矩阵并无任何偏颇的地方，而我们应看到，现今在电脑中看到的听到的不仅包括图片，音乐或者视频实质上都是矩阵。

矩阵这个数学名词所包含的并非仅仅是这些，可以说，我们日常看到那些形形色色的矩阵仍然是其表象，其蕴含的本质并不是仅仅那么一列列一行行的数字。

我在大学里刚接触矩阵时，对那么生硬的一列列数字很不习惯，各种运算相对於单变量的运算看起来也那么的不显然，例如矩阵的乘法就显得十分的让人难以理解，有时课下也推了一推，发现矩阵这样定义运算并没有任何的矛盾之处。最后真正接纳矩阵这个概念的是通过大家所熟悉的线性方程组，于是脑子也似乎就为矩阵定下了格，它就是线性方程组的系数阵。方程组的有解无解的判别就靠他了。

现在想来，上面的理解其实只是矩阵本质的一个现象。仿佛是大的结果的小小特例。把矩阵理解成一个线性变换倒是可以很好的描述更多的矩阵的特征。而我正想通过小小的一些例子来说明矩阵的各种理解：

 

对于一个二维线性空间（试用平面几何的观点理解），往往存在以下的几种变换：（引自wiki）

1.    平移（移动原点）

2.    旋转

3.    反射

4.    拉伸

5.    压缩

以及他们的组合。

事实上，我们将会发现除了平移对于2*2矩阵来说不那么明显外，几乎其他的均可以很好的通过矩阵完成。

关于这点，我们首先需说明，为什么在平移这项上2维方阵出现了无能为力的现象，

其实答案很简单，当你发现对于原点，方阵并不能使之发生平移，所以对于其他的向量矩阵无能为力也就在情理之中了，至少我是这样理解对于空间中的向量事实上并没有起点这一说的，向量是有方向的定长线段，简单的说向量是不会固定位置的，

而定义向量，我们又似乎需要一个基本的出发点，那就是原点；原点都动不了，自然空间也不会发生平移。基于这个结论，对空间中的点进行平移用2维方阵确实是不可行的。

不过对于这个问题在计算机图形学中可以得到解决，当然这个变换的矩阵也就不再是2维。

 

让我们回到主题，对于这几种变换对应的矩阵是怎样的呢？

   有过线性代数学习经验的同学大概都有很深的认识，当然用几何的观点来看代数中的概念本身就是一件很有意思的事，那么，就让我比较不专业的用图像来解释吧！

下面就是一些例子（wiki）：

§                     逆时针旋转 90 度:A = [0,-1;1,0];

§                     逆时针旋转 θ 度:R = [cos(θ),sin(θ);-sin(θ),cos(θ)];

§                     针对 x 轴反射: R = [1,0;0,-1];

§                     在所有方向上缩放 2 倍: A = [2,0;0,2];

§                     垂直错切:A = [1,m;0,1];

§                     挤压:A = [k,0;0,1/k];

§                     投影于 y 轴:A = [0,0,0,1];

 

上面的例子给了我们最为简单和直观的说明：矩阵他到底干了些什么？

其实我们这只是很小的一部分，对于一个矩阵他的能力我们怎样进行分析：

例如对于那些量，矩阵改变了他们什么？

这些问题是作为特征值以及特征向量进行描述的，这里不妨举一个简单的例子来说明矩阵的这些问题，我们知道对于病态的线性方程组我们的数值算法往往会产生很大的误差，其中本源就在于系数矩阵是一个病态矩阵，那么病态的矩阵会产生什么样的变换效果呢？

 

这里我们取经典的希尔伯特矩阵为例：

其实也很简单

H = [1  ,1/2

         1/2,1/3 ];

 

观察它对我们的单位圆做了些什么？

 

结果是不是很畸形，呵呵，难怪我们称它为病态了。

 

我现在总是想为以前的数学所学找意义，不管是几何意义或者是物理意义也好，发现一个现实中问题能够映射回书本上的概念总是让我欣喜异常，时而陷入苦思，担心我所得的“意义”也许是我的主观的一厢情愿，时而辗转反侧，因为我找到的意义似乎与书上的结论并不符合。但我至少认为：

数学上的真理总能找到其几何意义或者物理意义，

没有几何或物理意义的命题往往是错的，

或者是我们没有找到。