2019 ICPC 南昌 Regional B. A Funny Bipartite Graph(狀壓DP)

題意

一個二分圖，左右各有$n$個點，左邊第$i$個點有一個屬性$m_i$，它在一個圖中的價值爲$m_i^{d_i}$，其中$d_i$爲它在圖中的度數(特殊的，如果度數爲$0$，則價值爲$0$)，求一個該二分圖的子圖使得右邊的每個點度數都不爲$0$且總價值最小，輸出最小价值。如果無解輸出$-1$
有若干個限制條件$(i,j)$表示子圖中左邊的點$i$和$j$不能同時存在
保證：

1. 原二分圖中左邊的每個點度數在$[1,3]$之間。
2. 左邊的$i$點和右邊的$j$點之間右邊當且僅當$i\le j$

數據範圍$n\le 18,m_i\le100$

解題思路

這個數據範圍很容易想到狀壓DP，但是有一個困難就是它既需要前面選擇的左邊的點的狀態，又需要當前沒有選擇的右邊的點的狀態，如果都用二進制去枚舉，那麼複雜度是$2^{2n}$。
注意到題目保證了：左邊的$i$點和右邊的$j$點之間右邊當且僅當$i\le j$
那麼從小到大爲左邊的點選擇連邊，當前選擇點$i$的時候，右邊編號爲$[1,i-1]$的點肯定都被覆蓋了，而左邊編號爲[i+1,n]的點肯定都還沒選擇。那麼這兩個部分的二進制長度加起來剛好是n。
所以我們從小到大爲左邊的點選擇連邊進行狀態轉移，爲$i$選擇連邊時，$mask$的$[0,i-1]$位代表前面選擇的左邊的點，$[i,n]$位表示已經選擇了的右邊的點。然後枚舉點$i$連邊情況進行轉移即可。
代碼：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int dp[2][1<<18];
int val[20], ban[20];
vector<int> g[20];
char s[20];
int n;
void init(){
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; ++i) g[i].clear();
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        scanf("%s", s);
        for(int j = 0; j < n; ++j) if(s[j] == '1') g[i].push_back(j);
    }
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        scanf("%s", s); ban[i] = 0;
        for(int j = 0; j < i; ++j) if(s[j] == '1') ban[i] |= (1<<j);
    }
    for(int i = 0; i < n; ++i) scanf("%d", &val[i]);
}
int sol(){
    int cur = 0, nxt = 1;
    memset(dp, 0x3f, sizeof dp);
    dp[cur][0] = 0;
    for(int i = 0; i < n; ++i){
        for(int mask = 0; mask < (1<<n); ++mask){
            int lstate = mask&((1<<i)-1);
            int rstate = mask&((1<<n)-(1<<i));
            if(dp[cur][mask] == inf) continue;
            // don't choose i
            if(rstate>>i&1) dp[nxt][(mask)^(1<<i)] = min(dp[nxt][(mask)^(1<<i)], dp[cur][mask]);
            if(ban[i]&lstate) continue;//can't choose i
            for(int t = 1; t < (1<<g[i].size()); ++t){
                int cost = 1;
                int ex = 0;
                for(int j = 0; j < g[i].size(); ++j){
                    int v = g[i][j];
                    if(t>>j&1) cost *= val[i], ex |= 1<<v;
                }
                int nstate = rstate|ex;
                if( !(nstate>>i&1) ) continue;
                dp[nxt][lstate|nstate] = min(dp[nxt][lstate|nstate], dp[cur][mask] + cost);
            }
        }
        swap(cur, nxt);
        memset(dp[nxt], 0x3f, sizeof dp[nxt]);
    }
    int ans = inf;
    for(int i = 0; i < (1<<n); ++i) ans = min(ans, dp[cur][i]);
    if(ans == inf) return -1;
    return ans;
}
int main()
{
    int T;cin>>T;
    while(T--){
        init();
        cout<<sol()<<endl;
    }
}