數論函數與數論恆等式

數論函數與數論恆等式

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1. 取整函數

r=⌊r⌋+{r},⌊r⌋∈Z,{r}∈[0,1)

r=⌈r⌉−c,⌈r⌉∈Z,c∈[0,1)

幾個不等式：

插入/刪除取整號

1. r<n⟺⌊r⌋<n
   證明：
   

   r<n⟺n−⌊r⌋>{r}≥0⟺⌊r⌋<n
   
   同理有：
   
   r>n⟺⌈r⌉>n

2. r≤n⟺⌈r⌉≤n
   證明:
   

   r≤n⟺⌈r⌉−c≤n⟺⌈r⌉−n≤c<1⟺⌈r⌉<n+1⟺⌈r⌉≤n
   
   同理有：
   
   r≥n⟺⌊r⌋≥n

整除邊界值

⌊pi⌋=⌊pk⌋⇒k≤⎢⎣⎢⎢⎢p⌊pi⌋⎥⎦⎥⎥⎥

證明：

由於：

pi=⌊pi⌋+c1pk=⌊pk⌋+c2

滿足c∈[0,1) ，聯立以上若干式，可得：

0≤pk−⌊pi⌋<1

滿足：

k≤p⌊pi⌋⟺k≤⎢⎣⎢⎢⎢p⌊pi⌋⎥⎦⎥⎥⎥

2. 數論函數

歐拉函數

φ(i)=∑k≤i[(i,k)=1]

性質： 歐拉函數是積性函數。

證明：

φ(ij)=∑k≤ij[(ij,k)=1]=∑k≤ij[(i,k)=1][(j,k)=1]=∑j(p−1)+q≤ij,q≤j[(i,j(p−1)+q)=1][(j,j(p−1)+q)=1]=∑(p−1)+q/j≤i,q≤j[(i,j(p−1)+q)=1][(j,q)=1]

設k=(p−1)+q/j ，則原式爲：

∑k≤i,q≤j[(i,kj)=1][(j,q)=1]

其中k 是一個有理數，因爲素數有無窮多個，對於任意大的i,j ，總可以找到一個素數作爲模。容易利用同餘式證明模意義下存在：

(i,j)=1 then (i,kj)=1⟺(i,k)=1

則原式就是：

∑k≤i,q≤j[(i,k)=1][(j,q)=1]

注意到：

φ(i)φ(j)=⎛⎝∑k≤i[(i,k)=1]⎞⎠⎛⎝∑k≤j[(j,k)=1]⎞⎠=∑k≤i,p≤j[(i,k)=1][(j,p)=1]=∑k≤i,p≤j[(i,k)=1][(j,p)=1]

則有：∀(m,n)=1,φ(mn)=φ(m)φ(n) 。

因子個數函數

d(n)=∑i[i|n]

性質： d(i)=∏(pk(i)+1) 。證明依賴唯一分解定理和乘法原理。其中pk(i) 表示第k 個素數在i 的唯一分解中的冪次。

函數d 與另一個函數e(n) 密切相關，它被定義爲n 的最小素因子在唯一分解中的冪次。

下列性質給出了O(n) 求解d 函數的方法。

• j 爲ij 最小的素因子，d(ij)=d(i)(e(i)+2)(e(i)+1)
• (i,j)=1⇒d(ij)=d(i)∗d(j)

而e(i) 的維護十分方便，因此可以得到：

const int MAXN = 50005;
int prime[MAXN], not_prime[MAXN], e[MAXN], d[MAXN], top = 0;
void get_prime(int n)
{
    e[1] = 0, d[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!not_prime[i]) { prime[++top] = i, e[i] = 1, d[i] = 2; }
        for (int j = 1; j <= top && prime[j]*i <= n; j++) {
            not_prime[prime[j]*i] = 1;
            if (i%prime[j] == 0) {
                d[prime[j]*i] = d[i]/(e[i]+1)*(e[i]+2);
                e[prime[j]*i] = e[i]+1;
                break;
            }
            e[prime[j]*i] = 1;
            d[prime[j]*i] = d[i]*d[prime[j]];
        }
    }
    for (int i = 1; i <= 20; i++)
        cout << d[i] << " ";
    puts("");
}

莫比烏斯函數

μ(d)=[∀p,p(i)≤1](−1)∑p(i)

符號p(k) 爲k中蘊含素因子p的個數。

性質：

1. 莫比烏斯函數是積性函數
2. ∑d|nμ(d)=[n=1]
3. (反演定理)：
   
   F(n)=∑d|nf(n)⟺f(n)=∑d|nμ(nd)F(d)
   
   證明：
   
   ∑d|nμ(nd)F(d)=∑d|nμ(nd)∑k|df(k)=∑k|nf(k)∑k|d,d|nμ(nd)
   
   令d=pk,q=n/k ，原式=
   
   ∑k|nf(k)∑pk|nμ(npk)=∑k|nf(k)∑p|qμ(qp)=∑k|nf(k)[q=1]=f(n)
4. 另一種形式的反演定理：
   
   F(i)=∑k≥1f(ki)⟺f(i)=∑k≥1μ(k)F(ki)

處理的技巧

參見：http://blog.csdn.net/oiljt12138/article/details/70188437