模糊數學學習筆記 1：模糊集

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1. 傳統集合的定義

論域 U，集合 A，這可以用一個映射來表示
$\begin{aligned} \chi_{A}: \boldsymbol{U} \rightarrow &\{\mathbf{0}, \mathbf{1}\} \\ \boldsymbol{u} \mapsto & \chi_{A}(\boldsymbol{u}) \end{aligned}$
也可以用一個分段函數來表示
$\chi_{A}(u)=\left\{\begin{array}{ll} {1,} & {u \in A} \\ {0,} & {u \notin A} \end{array}\right.$

2. 模糊集合的定義

模糊集的含義表示其中的元素 $x$ “有一定的可能性”屬於集合 $A$，或者說“一定程度上”屬於集合 $A$，那麼這個屬於的程度就被稱爲隸屬度 $\mu_A(x)\in [0,1]$。與傳統集合相比，傳統集合中元素的隸屬程度非 0 即 1，也即要麼屬於，要麼不屬於，是確定的，模糊集裏則引入了一定的不確定性。也用一個映射表示爲
$\begin{aligned} \mu_{A}: &\boldsymbol{U} \rightarrow[0,1] \\ &\boldsymbol{x} \mapsto \mu_{A}(x) \in[0,1] \end{aligned}$
其中映射 $\mu_A$ 稱爲 $A$ 的隸屬函數，$\mu_A(x)$ 爲 $x$ 對 $A$ 的隸屬度。注意 $\mu_A(x)=0.5$ 時表示最具有模糊性。

3. 模糊集的表示方法

3.1 Zadeh 表示法

$A=\frac{A\left(x_{1}\right)}{x_{1}}+\frac{A\left(x_{2}\right)}{x_{2}}+\cdots+\frac{A\left(x_{n}\right)}{x_{n}}$

這裏 $\frac{A\left(x_{i}\right)}{x_{i}}$ 表示 $x_i$ 對模糊集 $A$ 的隸屬度爲 $A(x_i)$。若論域 $U$ 爲無限集，則模糊集表示爲
$A=\int_{x\in U} \frac{A(x)}{x}$

3.2 序偶表示法

$A=\left\{\left(x_{1}, A\left(x_{1}\right)\right),\left(x_{2}, A\left(x_{2}\right)\right), \cdots,\left(x_{n}, A\left(x_{n}\right)\right)\right\}$

3.3 向量表示法

$A=(A(x_1),...,A(x_n))$

4. 模糊集的運算

4.1 集合基本運算

• 相等：$A=B \iff A(x)=B(x), \forall x\in U$
• 包含：$A\subset B \iff A(x)\le B(x), \forall x\in U$
• 交集：$(A\cap B)(x) = A(x)\wedge B(x),\forall x\in U$
• 並集：$(A\cup B)(x) = A(x)\vee B(x),\forall x\in U$
• 補集：$A^c(x)=1-A(x),\forall x\in U$

其中記號 $a\wedge b=\min\{a,b\},a\vee b=\max\{a,b\}$

4.2 計算性質

很多計算性質都和普通集合差不多

需要注意的是無窮個集合的交集與並集的定義
$\bigcup_{t \in T} A_{t}(a)=\sup_{t \in T} A_{t}(a) \\ \bigcap_{t \in T} A_{t}(a)=\inf_{t \in T} A_{t}(a)$

5. 隸屬度的確定

5.1 實驗統計法

5.2 (半)解析法

根據問題性質套用現有模糊分佈，然後根據測量數據確定分佈中的參數。

模糊分佈大致分爲：偏大型、偏小型、中間型

5.3 專家打分法

根據專家的反饋意見進行統計

6. 截集與分解定理

6.1 截集的定義

定義：若 $A$ 爲 $U$ 上的任一模糊集，對 $\forall \lambda\in [0,1]$，記
$A_\lambda = \{x|A(x)\ge\lambda,x\in U\}$
稱爲 $A$ 的**$\lambda$-截集**，其中 $\lambda$ 稱爲閾值或置信水平。類似的，**強截集(開截集)**定義爲
$A_\lambda = \{x|A(x)>\lambda,x\in U\}$
注意：截集爲普通集合，不是模糊集！

6.2 截集運算性質

大部分性質都很簡單

但注意其中第 3 和第 6 條注意並不是相等！！

6.3 一些定義

• 核：$ker(A)=A_1$
• 支集：$supp(A)=A_{\bar{0}}$
• 邊界：$A_{\bar{0}}\backslash A_1$
• 數乘：$\lambda A(u) = \lambda \wedge A(u),u\in U$
  • $A\subset B \Rightarrow \lambda A \subset \lambda B$
  • $\lambda_1\le\lambda_2\Rightarrow \lambda_1 A \subset \lambda_2 A$

6.4 分解定理

分解定理 1：$A\in \mathcal{F}(U)$，則 $A=\bigcup_{\lambda\in[0,1]}\lambda A_\lambda$

分解定理 2：$A\in \mathcal{F}(U)$，則