模糊數學學習筆記 4：模糊關係

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1. 模糊關係

定義：模糊關係 $R$ 的隸屬函數 $\mu_R:U\times V\to[0,1]$，其中 $\mu_R(x,y)$ 表示 $(x,y)$ 具有關係 $R$ 的程度

Remarks：實際上模糊關係 $R$ 就是定義在一個笛卡爾積的論域 $U\times V$ 上的模糊關係，與之前介紹的普通的模糊關係並無太大差別。

基本運算定義爲：

• 並：$\boldsymbol{\mu}_{R \cup S}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\boldsymbol{\mu}_{R}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \vee \boldsymbol{\mu}_{S}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$
• 交：$\boldsymbol{\mu}_{R \cap S}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\boldsymbol{\mu}_{R}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \wedge \boldsymbol{\mu}_{S}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$
• 補：$\mu_{\bar{R}}(x,y)=1-\mu_R(x,y)$
• 包含：$\boldsymbol{R} \subseteq \boldsymbol{S} \Rightarrow \boldsymbol{\mu}_{R}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \leq \boldsymbol{\mu}_{S}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$
• 相等：$\boldsymbol{R} = \boldsymbol{S} \Rightarrow \boldsymbol{\mu}_{R}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = \boldsymbol{\mu}_{S}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$

一些模糊關係有：

• 恆等模糊關係：$R(x,y)=\mathbb{I}_{x=y}$
• 零模糊關係：$O(x,y)=0$
• 全稱模糊關係：$E(x,y)=1$

2. 模糊矩陣

2.1 定義

對於有限論域 $U,V$，模糊矩陣的定義很容易可以獲得 $R_{ij}=\mu_R(x_i,y_j)$

當 $R$ 的對角元素全部爲 1 時，稱爲模糊自反矩陣

模糊矩陣對應於集合的運算定義爲：

• 並：$\boldsymbol{R} \cup \boldsymbol{S} \Leftrightarrow \boldsymbol{R} \cup \boldsymbol{S}=\left(\boldsymbol{r}_{i j} \vee \boldsymbol{s}_{i j}\right)$
• 交：$\boldsymbol{R} \cap \boldsymbol{S} \Leftrightarrow \boldsymbol{R} \cup \boldsymbol{S}=\left(\boldsymbol{r}_{i j} \wedge \boldsymbol{s}_{i j}\right)$
• 補：$R^c=(1-r_{ij})$
• 包含：$\boldsymbol{R} \subseteq \boldsymbol{S} \Leftrightarrow\left(\boldsymbol{r}_{i j}\right) \leq\left(\boldsymbol{s}_{i j}\right)$
• 相等：$\boldsymbol{R} = \boldsymbol{S} \Leftrightarrow\left(\boldsymbol{r}_{i j}\right) =\left(\boldsymbol{s}_{i j}\right)$

2.2 運算性質

2.3 截矩陣

截矩陣的定義爲 $R_\lambda=(r_{ij}(\lambda))$，其中 $r_{ij}(\lambda)=\mathbb{I}_{r_{ij}\ge\lambda}$

Remarks：截矩陣的定義對應着截集的概念，截集得到的是普通集合，響應的截矩陣也是布爾矩陣，完全沒有不確定度。

2.4 模糊關係合成

轉置：略

模糊乘積：設 $Q=(q_{ij})_{n\times m},R=(r_{ij})_{m\times t}$，定義 $S=QR\in\mathcal{F}_{n\times t}$，有 $S_{ik}=\vee_{j=1}^m(q_{ij}\wedge r_{jk})$

Remarks：模糊乘積實際上表示了兩個模糊關係的複合，即 $Q\in\mathcal{F}(U\times V),R\in\mathcal{F}(V\times W)$，最後合成了模糊關係 $S\in\mathcal{F}(U\times W)$。從公式上來看，模糊矩陣的乘積跟普通矩陣的乘積很像，只不過乘法換成了 $\wedge$，加法換成了 $\vee$。

模糊關係的合成具有以下性質：

3. 模糊關係性質

3.1 自反性、對稱性、傳遞性

就像普通集合的關係一樣，模糊集合有三個重要性質：自反性、對稱性、傳遞性。

自反性：若 $\forall x\in U,\mu_R(x,x)=1$，則稱 $R$ 滿足自反性，相應的有模糊矩陣 $I\subseteq R$

定理 1：若 $A$ 爲自反矩陣，則有
$I\subseteq A \subseteq A^2 \subseteq \cdots \subseteq A^n \subseteq \cdots$
對稱性：若 $\forall x,y\in U,\mu_R(x,y)=\mu_R(y,x)$，則稱 $R$ 滿足對稱性，相應的有模糊矩陣 $R^T=R$

傳遞性：$\mu_R(x,z)\ge\vee_y (\mu_R(x,y)\wedge\mu_R(y,z))$，則稱 $R$ 滿足傳遞性，相應的有模糊矩陣 $R^2\subseteq R$

定理 2：若 $Q$ 爲傳遞矩陣，則有
$Q \supseteq Q^{2} \supseteq Q^{3} \supseteq \cdots \supseteq Q^{\mathbf{n}-1} \supseteq Q^{\mathbf{n}} \supseteq \cdots$

3.2 模糊相似關係與等價關係

模糊相似關係：$R\in F(U\times U)$，滿足自反性和對稱性 $\Longrightarrow I\subseteq R\subseteq R^2\subseteq \cdots\subseteq R^n\subseteq \cdots$

模糊等價關係：$R\in F(U\times U)$，滿足自反性、對稱性和傳遞性 $\Longrightarrow R=R^2=\cdots=R^n=\cdots$

定理：$R$ 爲等價關係 $\iff R_\lambda$ 爲等價關係 $\forall \lambda\in[0,1]$

Proof：若 $R_\lambda$ 爲等價關係，則意味着 $\forall i,j,k$，若 $r_{ij}(\lambda)=1,r_{jk}(\lambda)=1 \Longrightarrow r_{ik}(\lambda)=1$。因此對於模糊矩陣來說，應有 $r_{ij}\ge\lambda,r_{jk}\ge\lambda \Longrightarrow r_{ik}\ge\lambda$。在此基礎上易證充分必要性。

Remarks：這個定理將模糊等價關係轉化爲普通等價關係，而普通等價關係可以很容易分類。

3.3 對稱閉包與傳遞閉包

對稱閉包：設 $A,\hat{A},B\in\mathcal{F}(U\times U)$，若 $A\subseteq\hat{A},A^T\subseteq\hat{A}$，且對任意包含 $A$ 的對稱關係 $B$，都有 $\hat{A}\subseteq B$，則 $\hat{A}$ 爲 $A$ 的對稱閉包，記爲 $s(A)=\hat{A}$。

實際上對稱閉包就是包含 $A$ 的最小的對稱關係，很容易的有 $s(A)=A\cup A^T$

傳遞閉包：$A\subseteq\hat{A},A^2\subseteq\hat{A}$，且任意包含 $A$ 的傳遞關係 $B$ 都有 $\hat{A}\subseteq B$，則 $\hat{A}$ 爲 $A$ 的傳遞閉包，記爲 $t(A)=\hat{A}$。

傳遞閉包定理 1：$t(A)=A\cup A^2 \cup\cdots\cup A^n\cup\cdots=\bigcup_{k=1}^\infty A^k$

傳遞閉包定理 2：$t(A)=\bigcup_{k=1}^n A^k$ （可以使用鴿巢原理，證明 $A^{n+1}\subseteq A^m,m\le n$）

傳遞閉包定理 3：相似矩陣 $R\in U_{n\times n}$ 的傳遞閉包是等價矩陣，且 $t(R)=R^n$

傳遞閉包定理 4：相似矩陣 $R\in U_{n\times n}$，則 $\forall m\ge n,t(R)=R^m$

傳遞閉包定理 5：相似矩陣 $R\in U_{n\times n}$，則 $\exist k\le n,t(R)=R^k$

Remarks：

• 定理 2 證明了傳遞閉包在實際中是可計算的
• 定理 3-5 中對相似矩陣求傳遞閉包就得到了等價矩陣，對後面的模糊據類很有用，因爲模糊等價矩陣可以與普通等價矩陣聯繫起來，而若想進行分類，則必須依託於等價關係。