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1. 模糊關係
定義:模糊關係 R 的隸屬函數 μR:U×V→[0,1],其中 μR(x,y) 表示 (x,y) 具有關係 R 的程度
Remarks:實際上模糊關係 R 就是定義在一個笛卡爾積的論域 U×V 上的模糊關係,與之前介紹的普通的模糊關係並無太大差別。
基本運算定義爲:
- 並:μR∪S(x,y)=μR(x,y)∨μS(x,y)
- 交:μR∩S(x,y)=μR(x,y)∧μS(x,y)
- 補:μRˉ(x,y)=1−μR(x,y)
- 包含:R⊆S⇒μR(x,y)≤μS(x,y)
- 相等:R=S⇒μR(x,y)=μS(x,y)
一些模糊關係有:
- 恆等模糊關係:R(x,y)=Ix=y
- 零模糊關係:O(x,y)=0
- 全稱模糊關係:E(x,y)=1
2. 模糊矩陣
2.1 定義
對於有限論域 U,V,模糊矩陣的定義很容易可以獲得 Rij=μR(xi,yj)
當 R 的對角元素全部爲 1 時,稱爲模糊自反矩陣
模糊矩陣對應於集合的運算定義爲:
- 並:R∪S⇔R∪S=(rij∨sij)
- 交:R∩S⇔R∪S=(rij∧sij)
- 補:Rc=(1−rij)
- 包含:R⊆S⇔(rij)≤(sij)
- 相等:R=S⇔(rij)=(sij)
2.2 運算性質
2.3 截矩陣
截矩陣的定義爲 Rλ=(rij(λ)),其中 rij(λ)=Irij≥λ
Remarks:截矩陣的定義對應着截集的概念,截集得到的是普通集合,響應的截矩陣也是布爾矩陣,完全沒有不確定度。
2.4 模糊關係合成
轉置:略
模糊乘積:設 Q=(qij)n×m,R=(rij)m×t,定義 S=QR∈Fn×t,有 Sik=∨j=1m(qij∧rjk)
Remarks:模糊乘積實際上表示了兩個模糊關係的複合,即 Q∈F(U×V),R∈F(V×W),最後合成了模糊關係 S∈F(U×W)。從公式上來看,模糊矩陣的乘積跟普通矩陣的乘積很像,只不過乘法換成了 ∧,加法換成了 ∨。
模糊關係的合成具有以下性質:
3. 模糊關係性質
3.1 自反性、對稱性、傳遞性
就像普通集合的關係一樣,模糊集合有三個重要性質:自反性、對稱性、傳遞性。
自反性:若 ∀x∈U,μR(x,x)=1,則稱 R 滿足自反性,相應的有模糊矩陣 I⊆R
定理 1:若 A 爲自反矩陣,則有
I⊆A⊆A2⊆⋯⊆An⊆⋯
對稱性:若 ∀x,y∈U,μR(x,y)=μR(y,x),則稱 R 滿足對稱性,相應的有模糊矩陣 RT=R
傳遞性:μR(x,z)≥∨y(μR(x,y)∧μR(y,z)),則稱 R 滿足傳遞性,相應的有模糊矩陣 R2⊆R
定理 2:若 Q 爲傳遞矩陣,則有
Q⊇Q2⊇Q3⊇⋯⊇Qn−1⊇Qn⊇⋯
3.2 模糊相似關係與等價關係
模糊相似關係:R∈F(U×U),滿足自反性和對稱性
模糊等價關係:R∈F(U×U),滿足自反性、對稱性和傳遞性