模糊數學學習筆記 6：模糊綜合評判

假如我們現在設計了一種服裝，想要調研一下這種服裝的受歡迎程度，該怎麼辦呢？

首先是怎麼表示受歡迎程度呢？我們可以簡單分爲三個等級：受歡迎、一般歡迎、不受歡迎，由於不同的人感受可能不同，結合前面模糊集的概念，我們可以引入隸屬度，比如調查後得到 50% 的人喜歡，30%一般，20%不喜歡，我們就可以取隸屬度分別爲 0.5，0.3，0.2。

當然這樣太粗糙了，我們知道評價一個衣服的因素有很多，比如樣式、耐穿性、價格等，而不同因素即使對同一個人的值觀感受也是不一樣的，比如有的人很喜歡這個樣式，但是摸了摸錢包，發現這個衣服是這麼的難看！所以要想更好的評價，我們需要對每一個指標分別評估一下受歡迎程度，然後把各種因素綜合起來。這就是模糊綜合評判要做的事情。

1. 一級模糊綜合評判

現在我們把上面描述的過程規範化。我們有因素集 $U=\{u_1,...,u_n\}$，評語集 $V=\{v_1,...,v_m\}$。

綜合評判的步驟是什麼呢？

1. 首先要對每個因素分別進行單因素評判，也就是獲得 $r_i = (r_{i1},\cdots,r_{im})$
2. 然後把 $n$ 個因素的評判指標拼接成一個 $n\times m$ 的矩陣，可以獲得綜合評判矩陣 $R=(r_1^T,\cdots,r_n^T)^T$
3. 之後需要對所有因素進行綜合評判，因此可以設置一個權重 $A=(a_1,...,a_n)$，再根據算子 $M(\cdot,\cdot)$ 計算 $B=A\circ R=M(A,R)$，這個過程實際上就類似於一個加權的過程
4. 上一步結束後實際上得到的還是一個向量，要想最後給一個總的評價指標，可以對該向量再進行一次加權或者其他操作，獲得一個總的指標。

下面我對第 3，4 條再詳細解釋一下。

算子 $M(\cdot,\cdot)$ 可以取很多種形式，比如

• $M(\wedge,\vee) \Longrightarrow \boldsymbol{b}_{j}=\max \left\{\left(\boldsymbol{a}_{i} \wedge \boldsymbol{r}_{i j}\right), \mathbf{1} \leq \boldsymbol{i} \leq \boldsymbol{n}\right\}(\boldsymbol{j}=\mathbf{1}, \boldsymbol{2}, \cdots, \boldsymbol{m})$
• $M(\cdot,\vee) \Longrightarrow \boldsymbol{b}_{j}=\max \left\{\left(\boldsymbol{a}_{i} \cdot \boldsymbol{r}_{i j}\right), \mathbf{1} \leq \boldsymbol{i} \leq \boldsymbol{n}\right\}(\boldsymbol{j}=\mathbf{1}, \boldsymbol{2}, \cdots, \boldsymbol{m})$
• $M(\cdot,+) \Longrightarrow \boldsymbol{b}_{j}=\sum_i \left(\boldsymbol{a}_{i} \cdot\boldsymbol{r}_{i j}\right), (\boldsymbol{j}=\mathbf{1}, \boldsymbol{2}, \cdots, \boldsymbol{m})$
• $M(\wedge,\bigoplus)=\boldsymbol{b}_{j}=\min \left\{1, \sum_{i=1}^{n}\left(a_{i} \wedge r_{i j}\right)\right\}(j=1,2, \cdots, m)$
• $M(\wedge,+) \Longrightarrow \boldsymbol{b}_{j}=\sum_i \left(\boldsymbol{a}_{i} \wedge\frac{\boldsymbol{r}_{i j}}{r_0}\right), (\boldsymbol{j}=\mathbf{1}, \boldsymbol{2}, \cdots, \boldsymbol{m}),r_0=\sum_k r_{kj}$

不同的算子形式有不同特點，也適用於不同情況。

第 3 步經過 $M(,)$ 算子之後，我們得到了模糊評判向量 $B$，要獲得綜合結論也可以有不同的方式

• $u=\max{(b_1,...,b_n)}$
• $u=\sum_i \mu_i b_i / \sum_i b_i$

2. 多級模糊綜合評判

有時候對一件事物的評價有很多指標，這些指標又可以分爲幾大類，比如對高校的評分，可以包括

• 教學：教學下面又可以分爲師資力量、教學設施、學生質量等等
• 科研：… 可以有很多指標
• 圖書館、後勤 …

這個時候我們可以劃分爲多個層次依此評判綜合，其步驟可以描述爲以下形式：

1. 將原始因素集 $U=\{u_1,...,u_n\}$ 劃分爲若干組 $U=\bigcup_i U_i,U_i\cap U_j=\varnothing$
2. 對每組 $U_i$ 分別進行模糊評判，得到 $B_i$
3. 對總的評判矩陣 $R=(B_1^T,...,B_k^T)^T$ 再次進行綜合評判，得到 $B=A\circ R$，然後可以得到總的綜合評語

最後給我的博客打個廣告，歡迎光臨
https://glooow1024.github.io/
https://glooow.gitee.io/