導數與求導

導數與求導

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0. 摘要

太久沒有求過導數，發現關於導數的知識忘得一乾二淨，遂學習並記錄之。

1. 導數

導數（英語：Derivative）是微積分學中重要的基礎概念。一個函數在某一點的導數描述了這個函數在這一點附近的變化率。導數的本質是通過極限的概念對函數進行局部的線性逼近。當函數 $f$ 的自變量在一點 $x_{0}$ 上產生一個增量 $h$ 時，函數輸出值的增量與自變量增量 $h$ 的比值在 $h$ 趨於0時的極限如果存在，即爲 $f$ 在 $x_{0}$ 處的導數，記作 $f'(x_0)$ 、$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x_0)$ 或 $\left.\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\right|_{x=x_0}$。例如在運動學中，物體的位移對於時間的導數就是物體的瞬時速度。

導數是函數的局部性質。不是所有的函數都有導數，一個函數也不一定在所有的點上都有導數。若某函數在某一點導數存在，則稱其在這一點可導，否則稱爲不可導。如果函數的自變量和取值都是實數的話，那麼函數在某一點的導數就是該函數所代表的曲線在這一點上的切線斜率。

對於可導的函數 $f$，$x \mapsto f'(x)$ 也是一個函數，稱作 $f$ 的導函數。尋找已知的函數在某點的導數或其導函數的過程稱爲求導。反之，已知導函數也可以倒過來求原來的函數，即不定積分。微積分基本定理說明了求原函數與積分是等價的。求導和積分是一對互逆的操作，它們都是微積分學中最爲基礎的概念。

2. 導數表

$f(x)$	$f'(x)$
$C$	$0$
$n ^ x$	$n ^ x \ln n$
$\log_a x$	$\frac{ 1 }{ x \ln a }$
$\ln x$	$\frac{ 1 }{ x }$
$x ^ n$	$n x ^ { n - 1 }$
$\sqrt[ n ]{ x }$	$\frac{ x ^ { - \frac{ n - 1 }{ n } } }{ n }$
$\frac{ 1 }{ x ^ n }$	$- \frac{ n }{ x ^ { n + 1 } }$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$- \sin x$
$\tan x$	$\frac{ 1 }{ \cos ^ 2 x }$

3. 求導法則

$[ f(x) \pm g(x) ]' = f'(x) \pm g'(x)$$[ f(x) \cdot g(x) ]' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$[ \frac{ f(x) }{ g(x) } ]' = \frac{ f'(x) \cdot g(x) - g'(x) \cdot f(x) }{ g ^ 2(x) }$$[ f(g(x)) ]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

3.1 $[ f(g(x)) ]'$ 和 $f'(g(x))$ 的區別

$[ f(g(x)) ]' = \frac{ df(g(x)) }{ dx }$$f'(g(x)) = \frac{ df(g(x)) }{ dg(x) }$