浮點數的表示方法

爲了在計算機裏面表示浮點數，人們定義了一些標準，來描述浮點數

本文的浮點數介紹基於IEEE 754標準，這個標準廣泛運用於許多CPU和浮點處理器上

IEEE的浮點標準爲：：

• s爲符號位，下圖s
• M爲尾數位，及下圖的frac
• E爲階碼，爲下圖的exp

(圖1)單精度和雙精度浮點數

圖1顯示的分別是單精度（float） 和雙精度（double）表示形式。

 

一個IEEE標準的浮點數是由【規格化數】+【非規格化數】+【特殊的數】組成，下文將分別對這三個組成部分一一介紹：

 

【規格化數】

【定義】：當exp不全爲0，也不全爲1時則爲規格化數

人們爲了更廣的定義浮點數，對規格化數中的exp進行了細分，在規格化數中最大的exp爲，最小的exp則爲1，所以人們在最大最小的兩個數中間找到了一箇中間值Bias： ，所以大於這個Bias的exp爲正指數，小於這個Bias的exp爲負指數，所以在規格化數中 ，單精度中這個Bias爲127。

看了浮點數的表現形式，就有疑惑了，這個小數點打在哪裏？

標準是這樣定義【規格數】小數點的：

1. 對於二進制浮點數，小數點左側必須只有一位且必須爲1
2. 爲了節省空間，小數點的左側的1須省去（實際計算的時候由硬件電路加上）

所以抽象點想，小數點其實就打在了exp和frac的中間，但對於規格化數的運算時，M=1+frac。

那麼單精度的浮點數計算公式：

 

【非規格化數】

【定義】：當exp爲全0時，所表示的數就是非規格化數

非規格數主要解決的問題是浮點數表示0的問題，其次是解決那些近視於0的數：

1. 對於二進制浮點數，當exp全爲0的時候，小數點左側必須只有一位且必須爲0

所以計算非規格化數的時候，M=0+frac。

不光是這點不同，

非規格數E（指數）的表示方法也不一樣，雖然exp爲0但是，爲什麼這個是1不是0呢？？這個其實主要爲了保證數據的平滑過渡。

在規格化數中最小的數表達形式是取值範圍爲，而如果非規格數e取0則表達形式爲取值範圍爲，所以規格化數和非規格化數中間會產生一個空隙，如果e取1的時候則非規格化數的取值範圍爲，這樣就可以平滑的過渡過去

 

【特殊的數】

最後人們又定義了一些特殊的數：

1. 當階碼全爲1，且尾數位全爲0，則該數表示爲無窮，s（符號位）爲1表示正無窮，爲0表示負無窮。
2. 當階碼全爲1，且尾數位不全爲0，這表示NaN，該數表示爲“Not a Number”（不是一個數），這個東西很有用，當一些運算的結果不能用實數或無窮來表示的時候，就可以用該數表示，例如：