Nim遊戲詳解

廢話

這是一個過於經典且過於常見的博弈論模型，入門博弈論的話，首先肯定是要知道這個的。

正題

$Nim$ 遊戲的規則：有 $n$ 堆石子，第 $i$ 堆石子有 $a_i$ 個，每次可以從某一堆中取走若干個，先後手輪流取，最後無石子可取的人負。

首先給出結論：將這 $n$ 堆石子的數量異或起來（即 $a_1~xor~a_2~xor ~...~xor x_n$），假如不爲 $0$，那麼先手必勝，否則先手必敗。

由於這東西的證明需要用到二進制，所以下面的證明都在二進制意義下討論。

證明

首先要知道兩個定義：

1. 必勝態：雙方足夠聰明的情況下，在該狀態時擁有操作權者必勝
2. 必敗態：雙方足夠聰明的情況下，在該狀態時擁有操作權者必敗

以及一些基礎知識：如果一個狀態能轉移到任意一個必敗態，那麼該狀態就是必勝態，如果不能，就是必敗態。

在 $Nim$ 遊戲中，異或和不爲 $0$ 就是必勝態，否則是必敗態。

先考慮必勝態怎麼必勝：

假設他們異或起來爲 $k (k\neq 0)$，且 $k$ 的最高位爲第 $p$ 位，那麼至少存在一個 $a_i$，滿足 $a_i$ 的第 $p$ 位是 $1$，那麼我們只需要讓 $a_i$ 異或上 $k$ 即可，由於 $a_i$ 的第 $p$ 位是 $1$，所以 $a_i$ 異或 $k$ 肯定是減少了。

異或完後，所有石子的異或和就變成了 $0$，也就是必敗態，由於能轉移到必敗態，所以一開始的狀態爲必勝態。

再考慮必敗態爲什麼必敗：

其實這個就簡單很多了……由於此時異或和爲 $0$，不管怎麼拿，拿完之後肯定不爲 $0$，也就是說，這個狀態只能轉移到必勝態，那麼這個狀態就是必敗態了。

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舉個栗子

比如現在有 $1,3,2,6$ 四堆石子，在二進制下就是 $001,011,010,110$，他們的異或和爲 $110$，也就是 $6$。

此時先手操作，$k$ 即 $111$ 的最高位是第三位，找到第三位是 $1$ 的數：$6$，讓它異或上 $6$，得到的就是 $0$，那麼四堆石子數變成 $1,3,2,0$，此時他們的異或和爲 $0$，滿足要求，van美。

拓展題

（來自師兄的一場模擬賽）

題目大意：有一棵 $n$ 個節點的樹，$1$ 號點爲根節點，其它點上分別放有若干個石子，兩個人輪流操作，每次可以將某個節點上的若干個石子移動到這個節點的父親上面，無法操作者負，問先手是否必勝。

題解：

觀察發現，假如設根節點的深度爲 $1$，那麼深度爲奇數的節點上的石子其實不影響答案，因爲如果移動這上面的石子，那麼另一個人再次移動這堆石子即可，這堆石子就永遠在深度爲奇數的節點上，若干次移動後就到了根節點，然而他們的移動並不會更改先後手順序。

所以我們只需要考慮深度爲偶數的節點上的石子即可，如果移動深度爲偶數的節點上的石子，那麼移動完之後這堆石子肯定會在奇數節點上，也就是說，這堆石子沒用了。這等價於我們取走了這些石子。

誒，是不是開始很眼熟了？沒錯，這就是一個 $Nim$ 遊戲，不過不是用到所有的石子，只用到深度爲偶數的節點上的石子罷了。

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emm，簡單吧，這就講完啦qwq。