1、可觀性
1.1、可觀性定義
客觀性即指通過系統輸出能否反映系統初始狀態（狀態的變化能否由輸出反映出來）；
形式上如果根據一系列的輸出及控制輸入可以在有限時間內唯一地確定系統狀態則系統客觀；
其定義中存在三個關鍵詞：動態系統、狀態、輸出。
舉例：
在中醫看病中，動態系統爲人，望聞問切即爲輸出，而狀態即爲人是否生病生了什麼病，客觀就是由望聞問切的結果推斷人的狀態；
在網絡大數據中，動態系統即爲網絡，狀態爲要觀測出來的有價值信息，輸出爲能夠從網絡大數據得到的數據；
下圖中，很直觀地，可得狀態A和C是不可觀的，狀態B和D緊連輸出是可觀的；
1.2、連續線性系統可觀性
（1）線性系統可觀測性定義
定義如下一個線性系統
線性系統可觀測：如果在有限時間間隔
內，根據輸出值y(t)和輸入值u(t)，能夠確定系統的初始狀態x(
（2）線性系統可觀測性充要條件
定理1：系統
可觀測的充分必要條件rank
證明：
將上訴線性系統進行求n-1階導，可得
可構建矩陣運算：
其中只求導階數至n-1的原因爲，根據凱利-哈密爾頓定理：
由上可知
與
若rank
故證得定理一。
（3）舉例
例如：給出兩個傳感器GPS和加速度計，那麼哪一個能夠穩定地估計出一維運動小車的速度？
爲了簡化起見，我們用GPS觀測位置，一般用如下模型（位置導倒數爲速度，速度的導數爲一個白噪聲）
用加速度計估計速度，一般用如下模型：（速度的導數爲加速度，加速度的導數爲一個白噪聲）
上例中，加速度無法得知速度的原因爲，未知物體初始速度只知加速度無法確定。
1.3、離散線性系統
（1）定義
對於連續線性系統，可以通過採樣週期
定義2：如果在有限時間間隔
(2)可觀性直接解釋
入連續線性系統進行推導，可得定理
2、卡爾曼濾波器
2.1、卡爾曼濾波器定義
卡爾曼濾波器是一種利用線性系統狀態方程，通過系統輸入輸出觀測數據，對系統狀態進行最小方差估計的算法。它的最優估計需滿足以下三個條件：
（1）無偏性：：即估計值的期望等於狀態的真值；
（2）估計的方差最小；
（3）實時性。
2.2、卡爾曼濾波器模型推導假設
假設線性離散系統模型如下：
式中，過程噪聲
其中
表示過程噪聲和觀測噪聲均值爲0，且兩者之間獨立不相關；
從觀測噪聲的方差陣可以看出，觀測噪聲的方差陣R是一個正定矩陣，而非半正定矩陣意味着傳感器輸出必然含有噪聲；
初始狀態
補存協方差知識：
方差一般是用來描述一維數據的，但現實生活我們常常遇到含有多維數據的數據集，最簡單的大家上學時免不了要統計多個學科的考試成績。協方差就是這樣一種用來度量兩個隨機變量關係的統計量。如果結果爲正值，則說明兩者是正相關的(從協方差可以引出“相關係數”的定義)，結果爲負值就說明負相關的。
假設狀態的初始值 
2.3、卡爾曼濾波器推導思路
目的：假設濾波器形式
其中，
是當前時刻k的最小方差無偏估計（濾波器目標），等號右邊包含三個思路：
是上一個·時刻
的最優線性估計（最小方差無偏估計），
爲當前輸入值，
爲上一個我時刻輸入值。
爲我們模型中所要求得的值。
再此基礎上進行如下推導：
將第一步推導結果帶入可得
由以上推導可知，
在卡爾曼濾波器中，一方面來自於預測，即
第二方面來自於測量：
2.4、其它說明
（1）一般來說，採樣週期合理情況下，連續系統可觀，離散化的系統也會可觀。然而有時候採樣週期選擇不當，系統可能失去可控性及可觀性;
（2）卡爾曼濾波器是一種最優的觀測器，觀測增益
（3）
需要是非奇異的，否則
無法實現；