【趣味題目】n維切k刀

1. 引

之前做了一道題:

有一個大西瓜, 用水果刀平整地切, 總共切9刀, 最多能切成多少份, 最少能切成多少份?

最少很好求，就是 10 份唄。關鍵是最多是多少。

這個問題可以一般化爲一個很經典的數學問題:

k 個超平面可以把 n 維空間最多分爲多少部分？

我們定義 $f(n,\ k)$ 表示該問題的解，首先我們會給出這個解的遞推公式，然後給出其通項公式。

2. 遞推公式

首先考慮平凡問題解:

1. k 個點可以最多把一條直線分成幾個部分？
   $k + 1$ 個

2. 1 個超平面可以最多把 n 維空間分成幾個部分？
   2 個

所以:
$\begin{cases} f(n,\ 1) = 2\\ f(1,\ k) = k + 1 \end{cases}$

再考慮一般情況 $f(n,\ k)$。我們把它分成兩個部分來看:

1. 前面 $k - 1$ 刀把空間分成了幾份？

我們不知道，但是我們可以用 $f(n,\ k - 1)$ 來表示。

2. 第 $k$ 刀給空間多劃分了幾份？

這個問題就比較關鍵了。爲了方便理解，我們可以從最簡單的二維世界開始講。如果我們已經在平面上劃了 $k - 1$ 條線，現在劃第 $k$ 條線，且需要儘可能多的分割平面應該怎麼做呢？

顯然，稍加思考就會發現這是一個貪心問題，可以貪心的求解：只需要讓新的一條線同之前所有的線都相交就可以了。原本的 $k - 1$ 條線會把新的線分割成 $k$ 個部分，然後新增出 $k$ 個空間出來。

如下圖所示，原本三條直線把空間分爲 7 個部分，新增了一條線後，一下子多出來了 4 個空間。

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同樣的道理擴展到 n 維空間也是一樣的。原本已經有了 $f(n,\ k - 1)$ 個部分，多了一個超平面後，原本的超平面把新的超平面分割爲 $f(n - 1,\ k - 1)$ 個部分，因此也會多處同樣數量的子空間出來。

綜上所述，我們有:

$\begin{cases} f(n,\ 1) = 2\\ f(1,\ k) = k + 1\\ f(n,\ k) = f(n,\ k - 1) + f(n - 1,\ k - 1) & n \geqslant 2 \end{cases}$

3. 通項公式

通項公式的具體推導很複雜，具體可以見 這裏。

這裏直接給出結論:

$f(n,\ k) = \sum_{i = 0}^{n}\large C_k^i$

比如在三維空間裏，9 個平面最多可以把空間分爲:

$\large C_9^0 + C_9^1 + C_9^2 + C_9^3 = 130$

即 130 個部分。