leetcode -[動態規劃、二分查找] - （300）最長遞增子序列LIS

1、問題描述

給定一個無序的數組，求數組中最長遞增子序列的最大長度。
一個數組可能由多個遞增子序列，求這些子序列中的最大長度。

輸入：[10,9,2,3,1,7,18]
輸出：4
解釋：最長的遞增子序列爲[2,3,7,18],其長度爲4.

2、解題思路

特殊輸入：數組爲空的情況。
解決這道問題由以下兩種方法：
方法1：動態規劃。
分析：數組$nums$的最長遞增子序列可能以$nums[j](j = 0,1,2,...,len - 1)$結尾，且一定是這$len$個遞增子序列的長度最大的那個。
(1) 狀態定義
$dp[i]$表示$nums[i]$結尾的最長遞增子序列的長度。

(2) 狀態轉移
考慮$dp[i]$和$dp[j](j = 0,1,2,...,len-1)$之間的關係，當$nums[j] < nums[i]$，以$nums[i]$結尾的最長遞增子序列的長度等於以$nums[j]$結尾的最最長遞增子序列的長度加1，即
$dp[i]= max\{dp[j]+1\}$ 其中，$j= \{1,2,..,i-1\} \&\& nums[j] < nums[i]$

(3) 確定起始
只有開頭一個元素時，以該元素結尾的最長遞增子序列的長度爲1，即$dp[0] = 1$。

(4)確定結束
$dp[0],dp[1],...,dp[len-1]$中的最大值即爲該數組的最長遞增子序列的長度。

3、代碼實現

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        int len = nums.size();
        if(len == 0){
            return 0;
        }
        vector<int> dp(len, 0);
        dp[0] = 1;
        for(int i = 1; i < len; i++){
            int maxdpj = -1;
            for(int j = 0; j < i; j++){
                if(nums[j] < nums[i]){
                    maxdpj = max(maxdpj, dp[j]);
                }
            }
            if(maxdpj == -1){
                dp[i] = 1;
            }
            else{
                dp[i] = maxdpj + 1;
            }
            // cout<<"dp["<<i<<"]="<<dp[i]<<endl;
        }
        
        int maxlis = -1;
        for(int i = 0; i < len; i++){
            maxlis = max(maxlis, dp[i]);
        }
        return maxlis;

    }
};