通用算法 -[排序算法] -希爾排序

1、算法由來

我們知道，簡單插入排序在數據規模較小和數據基本有序時十分高效。
那如果數據規模較大，並且無序時，有什麼樣的方法可以提高簡單插入排序的效率呢？
希爾排序正是爲此而生，它通過構造(1)小規模數據和(2)讓數據基本有序的條件來達到高效排序。

2、算法思想

希爾排序的基本思想是分組進行插入排序。即每次根據增量序列（從大到小）中的一個增量值，將數組劃分成若干組，然後對這若干組分別進行簡單插入排序。直到數組有序位置。
以數組array=[5,7,8,3,1,2,4,6]爲例，希爾算法的具體過程如下：
（1）首先它把較大的數據集合分割成若干個小組（邏輯上分組），然後對每一個小組分別進行插入排序，此時，插入排序所作用的數據量比較小（每一個小組），插入的效率比較高。

可以看出，他是按下標相隔距離爲4分的組，也就是說把下標相差4的分到一組，比如這個例子中a[0]與a[4]是一組、a[1]與a[5]是一組…，這裏的差值（距離）被稱爲增量

(2) 每個分組進行插入排序後，各個分組就變成了有序的了（整體不一定有序）

此時，整個數組變的部分有序了（有序程度可能不是很高）

(3) 然後縮小增量爲上個增量的一半:2，繼續劃分分組，此時，每個分組元素個數多了，但是，數組變的部分有序了，插入排序效率同樣比高。

同理對每個分組進行排序（插入排序），使其每個分組各自有序

(4) 最後設置增量爲上一個增量的一半：1，則整個數組被分爲一組，此時，整個數組已經接近有序了，插入排序效率高

同理，對這僅有的一組數據進行排序，排序完成

3、代碼實現

希爾排序分組實現：

template<typename T>
void shellSort(T* array,int len){
	//對數組進行分組，最開始的增量(gap)爲數組長度的一半;
	for (int gap = len / 2; gap >= 1; gap = gap / 2){
		//對以gap爲增量形成的分組進行插入排序
		for (int i = gap; i < len; i++){
			insertSort(array, i, gap);
		}
	}
}

組內進行插入排序實現：

template<typename T>
void insertSort(T* array, int i, int gap){
	/*
	將array[i]插入到所在分組的正確位置上；
	array[i]所在的分組：
	...array[i-gap*2],array[i-gap],array[i],array[i+gap],array[i+gap*2]...
	*/
	
	/*寫法1：
	T inserted = array[i];
	int j = i - gap;
	while (j >= 0 && inserted < array[j]){
		array[j + gap] = array[j];
		j -= gap;
	}*/

	/*寫法2：*/
	T inserted = array[i];
	int j;
	for (j = i - gap; j >= 0 && inserted < array[j]; j -= gap){
		array[j + gap] = array[j];
	}
	array[j + gap] = inserted;

}

4、算法分析

• 時間複雜度：希爾排序的複雜度和增量序列是相關的。
  $\{1,2,4,8,...\}$這種序列並不是很好的增量序列，使用這個增量序列的時間複雜度（最壞情形）是$O(n^2)$，Hibbard提出了另一個增量序列$\{1,3,7，...,2^k-1\}$，這種序列的時間複雜度(最壞情形)爲$O(n^{1.5})$，Sedgewick提出了幾種增量序列，其最壞情形運行時間爲$O(n^{1.3})$,其中最好的一個序列是$\{1,5,19,41,109,...\}$。
• 空間複雜度：$O(1)$。
• 穩定性：簡單插入雖是穩定的，但希爾排序是不穩定的，詳細原因見下圖。