leetcode-[數組、雙指針、二分搜索]-尋找重複數（287）

1、問題描述

給定一個包含n+1個整數的數組nums，其中，每個整數的取值範圍爲[1，n]，根據鴿巢原理可知，至少存在一個重複的整數。假設只有一個重複的數，找出這個數。

2、解題思路

• 邊界條件與特殊情況：（1）nums中整數的個數小於2；
• 問題分析：以nums=[1，3，4，2，3]爲例，索引index的範圍是在[0，n]，元素值value的範圍是[1，n]，想象一下，把數組看成一個鏈表，數組中每一個位置上的元素值作爲下一個元素的索引，當有元素重複時，會得到下面這樣的帶有環的索引鏈表：
  

index	value
0	1
1	3
2	4
3	2
4	3

• 思路1：根據上面的分析，類比判斷鏈表中是否存在環問題的解題思路，採用快慢指針來解決這個問題，整個思路分爲兩個步驟：
• （1）檢測環。具體地，快、慢指針fast、slow都從0開始，進行如下循環：slow每次進行一跳，而fast進行兩跳，比如，一開始slow=i、fast=i，下一步中，slow=nums[i]，而fast=nums[nums[i]]。當slow等於fast，循環停止，此時slow和fast都停在環上某個節點。
• （2）找到環的入口。具體地，finder指針從0開始，slow從上一步中slow和fast在環中的相遇的開始，進行如下循環：slow和finder指針每次都進行一跳。當finder等於fast時，循環停止，此時finder指向的爲環的入口。
• 這裏可能有點難理解的是：爲什麼finder和slow會在環的入口處相遇？我們可以證明一下：
• 假設起點到環的入口處長度爲m，環的周長爲c，在檢測環的過程中，快慢指針在環中相遇，此時，fast走了2n步，slow走了n步，根據以上假設可得出以下結論：
• 由於兩個指針在環中相遇，所以多走的n步一定是c的整數倍，即n%c=0；
• fast和slow相遇時，slow在環中行走的距離是n-m，此時，若finder從起點開始，slow從相遇點開始，兩者同步前進，每次一步，當finder走了m步到達環的入口處時，slow走了n-m+m=n步，而n又是c的整數倍，故兩者會在環的入口相遇。
• 先聲明一下數據結構：
• slow慢指針、fast快指針，finder指針。
• 初始化，一開始slow和fast都爲0，finder也爲0
• 處理邏輯： 檢測環和找到環的入口。
• 這個方法的時間複雜度爲$O(n)$，空間複雜度爲$O(1)$。
• 思路2：一說到查找，且時間複雜度小於$O(n^2)$，則可以嘗試二分查找，二分查找的思路如下：
• 由於數組的元素的取值範圍在[1，n]，所以需要查找的數的區間也left=1、right=n，取該區間的中位數mid，統計數組中小於等於mid的元素個數count，如果count<=mid，則說明重複的整數在[mid+1，right]區間，否則在[left，mid]之間，如果left <right，則繼續在子區間查找。
• 由於進行了$logn$次查找，統計小於mid的元素個數count時間複雜度爲$O(n)$，所以時間複雜度爲$O(nlogn)$，空間複雜度爲$O(1)$。

3、代碼實現

快慢指針實現：

class Solution {
public:
    int findDuplicate(vector<int>& nums) {
         if (nums.size() < 2){
            return 0;
        }
        
        int slow=0;
        int fast = 0;
        int finder = 0;
        while(true){
            slow = nums[slow];
            fast = nums[nums[fast]];
            if(slow == fast){
                break;
            }

        }

        while(true){
            slow = nums[slow];
            finder = nums[finder];
            if(slow == finder){
                break;
            }
        }
        return finder;
    }
};

二分搜索實現：

class Solution {
public:
    int findDuplicate(vector<int>& nums) {
         if (nums.size() < 2){
            return 0;
        }
        int left = 1;
        int right = nums.size() - 1;
        while(left < right){
            int mid = (left + right) /2;
            int count = countNums(nums,mid);
            if(count <= mid){
                left = mid + 1;
            }
            else{
                right = mid;
            }

        }
        return left;
        
    }
    int countNums(vector<int>& nums,int e){
        int count = 0;
        for(int i=0;i<nums.size();i++){
            if(nums[i] <= e){
                count ++;
            }
        }
        return count;
    }
};