leetcode - [DP、棧、雙指針] - 接雨水（42）

1、問題描述

給定n個非負整數，每個整數表示一個寬度爲1的柱子的高度，
將這n個柱子並排放在一起，問按這種方式排列得柱子在下雨時能接多少雨水。

上面是由數組 [0,1,0,2,1,0,1,3,2,1,2,1] 表示的高度圖，在這種情況下，可以接 6 個單位的雨水（藍色部分表示雨水）。
示例：

輸入: [0,1,0,2,1,0,1,3,2,1,2,1]
輸出: 6

2、解題思路

• 解決這道問題有以下幾種方法：
• 方法1：暴力法。我們可以遍歷每個柱子$i$，然後在$i$的左邊找到最高的柱子$leftmax[i]$，再在$i$的右邊找到最高的柱子$rightmax[i]$，這樣，對於柱子$i$而言，它能夠盛水的容量就等於$leftmax[i]$與$rightmax[i]$兩者之中的最小值減去柱子$i$的高度，即$min{leftmax[i],rightmax[i]} - height[i]$.這種方法的時間複雜度爲$O(n^2)$，空間複雜度爲$O(1)$
  算法如下所示：

輸入：高度數組height;
輸出：盛水容量ans;
算法步驟:
初始化ans = 0;
i從左向右掃描數組：
	初始化leftmax = 0, rightmax = 0;
	j從當前元素(i所指向的元素)向左掃描並更新leftmax:
		leftmax = max(leftmax,height[j]);
	k從當前元素(i所指向的元素)向右掃描並更新rightmax:
		rightmax = max(rightmax,height[k]);
	將min{leftmax, rightmax} - height[i]累加到ans;

*** 方法2：動態規劃。**上述暴力法每次在求解$leftmax[i]$和$rightmax[i]$時，都需要向左和向右掃描一遍，其實這不是必須的，我們可以提前計算出每個柱子$i$的$leftmax[i]$和$rightmax[i]$，這樣在遍歷的過程中就避免了向左和向右的掃描過程。我們使用長度爲$len$的兩個數組$leftmax$和$rightmax$來保存每個柱子$i$的$leftmax[i]$和$rightmax[i]$。由於遍歷一次，故這種方法的時間複雜度爲$O(n)$，使用兩個額外數組，故空間複雜度爲$O(n)$。

• 方法3：棧。我們在遍歷數組的過程，動態維持一個棧，如果當前元素$i$ 小於等於棧頂元素$s.top$，則說明棧頂元素從左邊限定了當前元素，直接把當前元素的索引壓入到棧中；如果當前元素大於棧頂元素，則說明當前元素從右邊限定了棧頂元素，而由於棧頂元素在棧中的前一個元素剛好是棧頂元素的左邊界，此時應該彈出棧頂元素$e$，並將$distance \times bound$累加到$ans$，其中，
  $distance =min\{height[s.top]，height[i] \} - height[e]$，
  $bound= i - s.top - 1$
  單次遍歷，每個元素最多訪問兩次（由於出棧和入棧），故時間複雜度爲$O(n)$。空間複雜度爲$O(n)$，棧最多在階梯型或平坦型條形塊結構中佔用 $O(n)$的空間。

算法過程：
* 使用棧s用來存儲柱子的索引，s初始爲空；
*初始化ans = 0;
*i從左到右掃描數組：
	#當棧s非空並且height[i] > height[s.top]:
		*彈出棧頂元素e;
		*如果此時棧不爲空：
			#計算當前元素與棧頂元素的距離，準備填充：distance = i - s.top - 1;
			#計算界定高度，bound = min(height[i],height[s.top]) - height[e];
			#將distance * bound 累加到ans中;
	#棧爲空或者height[i] <= height[s.top]時，將i壓入棧中。

• 方法4：雙指針。根據方法2我們可以發現，柱子i可存儲的積水高度將由leftmax[i]和rightmax[i]中的最小值決定。
  所以我們可以認爲如果一端有更高的柱子（比如右端），則積水的高度由另一端的方向決定（從左到右）。當我們發現右端的柱子不再是最高的，則從相反的方向開始遍歷（從右向左）。我們必須在遍歷時維護leftmax和rightmax，但是我們現在可以使用兩個指針交替進行，所以只需遍歷一次即可完成。

算法過程：
#初始化ans = 0;
#初始化i=0,j=size-1;
#初始化leftmax = height[0],rightmax = height[size-1];
#當i < j時：
	*如果height[i] < height[j]:
		#如果height[i] >= leftmax, 更新leftmax=height[i];
		#否則累加到ans,ans+=leftmax - height[i];
		#i++;
	*否則：
		#如果height[j]>=leftmax,更新rightmax = height[j];
		#否則累加到ans, ans+=rightmax - height[j];
		#j--;

舉個例子：
假設height=[6,4,3,7,2,4,5]
leftmax = -1，rightmax = -1;
（1）i=0，j=6，height[i] > height[j]，height[j] > rightmax，故rightmax = height[j] = 5，j = 5;
（2）i=0，j=5，height[i] > height[j]，height[j] < rightmax，故ans+=rightmax - height[j] = 1，j = 4；
（3）i=0，j=4，height[i] > height[j]，height[j] <rightmax，故ans+=rightmax - height[j] = 1 + 3 ，j = 3；
（4）i=0，j=3，height[i] < height[j]，height[i] > leftmax，故
leftmax = height[i] = 6，i = 1;
（5）i=1，j=3，height[i]<height[j]，height[i] < leftmax，故ans+=leftmax - height[i] = 2，i = 2；
（6）i=2，j=3，height[i]<height[j]，height[i] < leftmax，故ans+=leftmax - height[i] = 2 + 3，i = 3；
（7）i ==j

3、代碼實現

class Solution {
public:
    int trap(vector<int>& height) {
        int left = 0;
        int right = height.size() - 1;
        int leftmax = -1;
        int rightmax = -1;
        int ans = 0;
        while(left < right){
            if(height[left] < height[right]){
                if(height[left] >= leftmax){
                    leftmax = height[left];
                }
                else{
                    ans += leftmax - height[left];
                }
                left ++;
            }
            else{
                if(height[right] >= rightmax){
                    rightmax = height[right];
                }
                else{
                    ans += rightmax - height[right];
                }
                right --;
            }
        }
        return ans;

        
    }
};

問題擴展：如果變成三維平面，該怎麼做？
接雨水II