P6268 [SHOI2002]舞會 題解

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前置知識：

匈牙利算法

簡要題意：

求圖的二分圖最大獨立集。

二分圖最大獨立集指：最大的一個點集使得每兩個點都不在同一邊上的這個點集的大小。

你會發現，這和 二分圖最大匹配 似乎是有聯繫的。

給出恆等式：

二分圖最大獨立集 = 圖的點數 - 最小點覆蓋 = 圖的點數 - 最大匹配。

最小點覆蓋指：最小的一個點集使得每一條邊至少有一個端點在該點集中。

你會發現，最小點覆蓋和最大匹配本質沒有區別。你選邊滿足邊不共點，就是選點滿足每邊有點啊。

所以，求一遍最大匹配然後減一下即可。

• 細節

匈牙利算法的模板似乎從 $1$ ~ $n$ 掃一遍能過（儘管它題目說 的是 $0$ ~ $n-1$），但是這題不行。所以，我們要考慮 $0$ 的話，就得給 $\text{vis}$ 和 $\text{mat}$ 賦值爲 $-1$.

時間複雜度：$O(n \times m)$.

實際得分：$100pts$.

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=2e3+1;

inline int read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	int x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}

int n,m,T,vis[N],mat[N];
vector<int>G[N]; bool h[N];

inline bool dfs(int dep,int bs) {
	if(vis[dep]==bs) return 0;
	vis[dep]=bs;
	for(int i=0;i<G[dep].size();i++) {
		int x=G[dep][i];
		if(mat[x]==-1 || dfs(mat[x],bs)) {
			mat[x]=dep;
			return 1;
		}
	} return 0;
}

int main(){
	n=read(),T=read();
	while(T--) {
		int x=read(),y=read();
		G[x].push_back(y);
	} int ans=0;
	memset(mat,-1,sizeof(mat));
	memset(vis,-1,sizeof(vis));
	for(int i=0;i<n;i++)
		if(dfs(i,i)) ++ans;
	printf("%d\n",n-ans);	
	return 0;
}