CF888 D. Almost Identity Permutations（數學）

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題意：給定n，k，求至少有n-k個ai=i的排列數

分析：
爲方便，用n-k代替k
比如n = 5,k = 1
先看有且僅有1個ai=i的情況：
 有且僅有1個ai=i有$C_5^1$種情況，以a1=1爲例
 剩下的四個位置，不能出現ai=i，第二位可以填3 4 5，第三位可以2 4 5，在二三位確定後，四五位自然確定
 ans=$C_5^1$ $*$ $3*3$
有且僅有2個ai=i時：
 兩個位置確定的可能：$C_5^2$ 以a1=1，a2=2爲例
 第三個位置可以填4 5，四五位置確定
 ans=$C_5^2$ $*$ 2
有且僅有3個位置確定時，剩下兩個位置只能有一種情況
4個位置確定時，第五個位置自然確定

所以我們可以得出一個規律：ans=$C_5^1$$*$$(5-1-1)^(5-1-2)$$+$$C_5^2$$*$$(5-2-1)^(5-2-2)$$+$$C_5^3$$*$$(5-3-1)^(5-3-2)$$+$ 1

上代碼：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <vector>
using namespace std;
#define ll long long
#define IOS ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll Inf = 1e18;

ll zuhe(ll n, ll m) //組合數
{
	if (m < n - m) m = n - m;
	ll ret = 1;
	for (int i = m + 1; i <= n; i++) ret *= i;
	for (int i = 2; i <= n - m; i++) ret /= i;
	return ret;
}

int main(void)
{
	int n, k;
	ll ans = 0;
	cin >> n >> k;
	k = n - k;
	while (n - k >= 2) {
		ans += zuhe(n, k) * pow(n - k - 1, n - k - 2);
		k++;
	}
	ans += 1;
	cout << ans << endl;
	return 0;
}