LeetCode 887 鸡蛋掉落 (决策单调性)

你将获得 K 个鸡蛋，并可以使用一栋从 1 到 N 共有 N 层楼的建筑。

每个蛋的功能都是一样的，如果一个蛋碎了，你就不能再把它掉下去。

你知道存在楼层 F ，满足 0 <= F <= N 任何从高于 F 的楼层落下的鸡蛋都会碎，从 F 楼层或比它低的楼层落下的鸡蛋都不会破。

每次移动，你可以取一个鸡蛋（如果你有完整的鸡蛋）并把它从任一楼层 X 扔下（满足 1 <= X <= N）。

你的目标是确切地知道 F 的值是多少。

无论 F 的初始值如何，你确定 F 的值的最小移动次数是多少？

示例 1：

输入：K = 1, N = 2
输出：2
解释：
鸡蛋从 1 楼掉落。如果它碎了，我们肯定知道 F = 0 。
否则，鸡蛋从 2 楼掉落。如果它碎了，我们肯定知道 F = 1 。
如果它没碎，那么我们肯定知道 F = 2 。
因此，在最坏的情况下我们需要移动 2 次以确定 F 是多少。

示例 2：

输入：K = 2, N = 6
输出：3

解题思路

这个题需要再$O(K*N)$或者$O(K*N*logN)$的时间复杂度下解决
对于鸡蛋掉落问题，不难写出它的状态转移方程：
$dp(N,K)=1+min_{1\leq X\leq N}(max(dp(X-1,K-1),dp(N-X,K))$
这样我们便可枚举楼层、鸡蛋和摔落楼层写出一个$O(K*N^2)$的算法
不过这个解法无法在限定的时间内通过这题。

$dp(X-1,K-1)$是一条斜率为正的函数折线
$dp(N-X,K)$是一条斜率为负的函数折线
这两个函数的交点$X_{0}$便是使得状态方程的最优解

实际上$dp(X-1,K-1)$是不受N增加影响的，因为它只考虑了$K$层，与后面的$N-K$层无关，所以当$N$增加时，最优解$X_{0}$也会增加，这样便构成了这里动态规划的决策单调性。

Code

class Solution {
public:
    int superEggDrop(int K, int N) {
        int dp[N+1];
        for(int i=0;i<=N;++i) dp[i]=i;
        for(int i=2;i<=K;++i){
            int t[N+1];
            t[0]=0;
            int x=1;
            for(int n=1;n<=N;++n){
            	//决策单调性
                while(x<n&&max(dp[x-1],t[n-x])>=max(dp[x],t[n-x-1])) ++x;
                t[n]=max(dp[x-1],t[n-x])+1;
            }
            for(int n=1;n<=N;++n) dp[n]=t[n];
        }
        return dp[N];
    }
};