[191].位1的個數

位 $1$ 的個數

 

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題目

編寫一個函數，輸入是一個無符號整數，返回其二進制表達式中數字位數爲 ‘1’ 的個數（也被稱爲漢明重量）。

示例 1：

輸入：00000000000000000000000000001011
輸出：3
解釋：輸入的二進制串 00000000000000000000000000001011 中，共有三位爲 '1'。

示例 2：

輸入：00000000000000000000000010000000
輸出：1
解釋：輸入的二進制串 00000000000000000000000010000000 中，共有一位爲 '1'。

示例 3：

輸入：11111111111111111111111111111101
輸出：31
解釋：輸入的二進制串 11111111111111111111111111111101 中，共有 31 位爲 '1'。

 

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函數原型

C的函數原型：

int hammingWeight(uint32_t n) {}

 

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邊界判斷

int hammingWeight(uint32_t n) {
    if( n <= 0 )
        return 0;
}

 

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算法設計：枚舉

思路：挨個數一遍，32個數每位數都看一下是否等於1（通過不斷右移），左移的過程中把1的個數記下來即可。

int hammingWeight(uint32_t n) {
    if( n <= 0 )
        return 0;
     
    int cnt = 0;
    while( n != 0 ){
        if( n % 2 == 1 )    // \ 
        是二進制，所以 %2，看看餘數是否爲 1
            cnt ++;
        n /= 2;            // \
        因爲題目是二進制數，所以右移一位是除以 2 
	}
	return cnt;
}

代碼方面可以優化下：

n % 2 和 n & 1 是一樣的，但 & 比 % 快。  
// n % m 時，只要 m 是 2的冪，那 n & (m-1) = n % m

n /= 2, 也可以改爲位運算，n >>= 1;

完整代碼：

int hammingWeight(uint32_t n) {
    if( n <= 0 )
        return 0;
     
    int cnt = 0;
    while( n != 0 ){
        if( n & 1 == 1 )    // \ 
        %2，看看餘數是否爲 1
            cnt ++;
        n >>= 1;            // \
        因爲題目是二進制數，所以右移一位是除以 2 
	}
	return cnt;
}

枚舉的複雜度：

• 時間複雜度：$\Theta(1)$，雖然說是枚舉，但無論什麼情況都是一個常數32。
• 空間複雜度：$\Theta(1)$。
   

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算法設計：判斷一個數字是否是2的冪

我們不再檢查數字的每一個位，而是不斷把數字最後一個 1 反轉。

$1000~0000$（1後面七個0）和 $0111~1111$（0後面七個1）大小隻相差$1$，具體說後者是前者減$1$。

這裏關鍵的想法是對於任意數字 $n$ ，將 $n$ 和 $n - 1$ 做與運算，會把最後一個 $1$ 的位變成 $0$ 。

爲什麼？

考慮 $n$ 和 $n - 1$ 的二進制表示。

這兩個數字所有的位數都不相同，$1$ 和 $0$ 正好相反，在計算機裏判斷兩個數是否所有的位數都相反只需要一次操作。

比如$1000~1000$，它就是 $2的7次方$ + $2的3次方$。也就是說，可以通過兩次判斷判別出來。

• $n ~~~~~~~= 1000~1000$，(十進制的 $136$)
• $n-1 = 1000~0111$，(十進制的 $135$)

$n \&(n-1) =1000~1000~\&~1000~0111=1000~0000$

進行與運算一次後，就去掉了最小的一個 1。

那第二次會怎麼樣呢？

第二次是拿第一次與運算的結果 $1000~0000$ 算。

$n \&(n-1) =1000~0000~\&~0111~1111=0000~0000$

您看，與倆次後，n 裏面的倆個 1 就全部消除了。

推而廣之，如果一個二進制數字中有N個1，只要判斷N次就知道有多少個1，而不需要把二進制的每一位都看一遍。

這種方法的本質實際上是判斷出一個數字是否是2的整數次方。

int hammingWeight(uint32_t n) {
    if( n <= 0 )
        return 0;
    
    int cnt = 0;
    while( n != 0 ){
        n &= (n-1);   // n = n&(n-1)
        cnt ++;
    }
    return cnt;
}

這是一道微軟和谷歌經常考的面試題，有經驗的面試官每個問題的背後，都隱藏着TA想了解的關於面試者的職業相關能力。

透過題目，能看清面試者解決問題的思路和應用所學知識的水平。

其次這些題也會在工作中遇到，所以也有實際價值的。

做這種面試題，一定要超出預期、一般化～

也就是這道題的考點，比如這個是【漢明重量】，如果面試者想超出面試官的預期，那實現的程序不僅是在二進制的情況下，還可以推廣到其它進制。

判斷一個數字是否是2的冪的複雜度：

• 時間複雜度：$\Theta(1)$，與 1 的個數相關。
• 空間複雜度：$\Theta(1)$。
   

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算法設計：查表法

微軟給出的答案：空間換時間。

這張圖存儲的範圍是 $0-256 即 2^{8}$，而我們題目要求的是 32位 不是 8位 呀，應該應該開一個 $2^{32}$ 的數組，大概 4G。

空間換時間，簡單地講，就是對所有的二進制編一張大表，表中直接記錄這個二進制中有多少個1即可，比如10001000有兩個1，11011011有六個1。

這種算法，只要進行一次操作，就可以知道一個二進制數中有多少個1了，因此比上述的與算法還快。

然而，凡事都有成本，這種查表的做法在節省時間的時候顯然要用其他資源作代價，那就是存儲這張大表所需要的空間。

如果是32位數，則需要4GB的存儲空間，如果放在計算機裏，一半的內存就沒了。

如果是64位，全世界所有計算機的內存都用上也放不下。

您可能會奇怪爲什麼增長這麼多，這就是指數增長的可怕之處。

當然，也有補救的法子。

因爲佔用內存太多。

如果把32位數字變成兩組16位的數字，建立一個16位數字的表格，32位數字前後查表兩次，然後把兩次的結果加起來即可。

而16位數字的表格只佔64K空間，只是4G的零頭。

當然，還可以將32位二進制數變成四個八位數（也就是四個字節），對八位數建表，只需要256個字節的存儲單元就夠了，這樣需要查表四次，做三次加法。
 

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在真實的計算機中，內存和處理器之間還有一個高速緩存，程序和數據要先從內存進入高速緩存，才能運行。高速緩存的空間非常有限，通常只有幾兆，4G內存上的內容是緩存容量的上千倍，肯定是放不下的，遇到這種情況，計算機本身要進行上千次額外操作，把內存的內容往緩存倒騰。

也就是說，如果建立一個大表，雖然查表只需要做一次，但是準備工作可能要做上千次。

如果您對上面的解釋還不是很理解，不妨看一眼下表，給出了建立32位二進制大表、16位二進制中表和8位二進制小表所需要的內存資源，和所需要的計算操作次數。

從這個表中你可以看出建立大表的方法只是在理論上有效（操作次數是1），在實際工程上根本不可行（準備次數太高）。

顯然，要回答好這道面試題，光是把計算機算法學好還不夠，還要對計算機系統結構有精深的瞭解。

查表法的複雜度：

• 時間複雜度：$\Theta(1)$
• 空間複雜度：$\Theta(2^{n})$