[數學] 一般正態曲線函數的積分怎麼求？爲什麼總是1？

1、問題說明

在通信原理的判決門限和數字圖像處理的閾值處理中，經常會遇到關於正態函數的積分值討論。我們知道，標準正態分佈$N\sim(1,0)$的函數積分值是1，即：

$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} {e^{-\frac{x^2}{2}}} dx=1$

證明過程如第2部分所示。

對於一般的情形$N\sim(\mu,\sigma^2)$，積分的結果又如何呢？這一點我們在第3部分討論。
 

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2、$N\sim(1,0)$的函數積分值

記概率密度函數
$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^{2}} {2}}\tag{1}$

記$f(x)$在$(-\infty,\infty)$上的積分值爲
$I=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x \tag{2}$

由於積分值與變量名無關，將 $x$ 換爲 $y$ ，得
$I=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^{2}} {2}} dx=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{y^{2}} {2}} dy\tag{3}$

由於 $x$ 與 $y$ 相互獨立，可由(3)得
$I^2=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^{2}} {2}} dx \times\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{y^{2}} {2}} dy$

$I^2=\frac {1} {2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^{2}+y^2} {2}} dx dy \tag{4}$

對 $x$ 和 $y$ 進行變量替換，
$x=rcos{\theta},~~~y=rsin{\theta}$

根據雅可比行列式計算出變量替換後的微分項：
$d x d y=\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)}\right| d r d \theta=\left|\begin{array}{ll} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial r} \\ \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{array}\right| d r d \theta=\left|\begin{array}{cc} \cos \theta & \sin \theta \\ -r \sin \theta & r \cos \theta \end{array}\right| d r d \theta=rdrd\theta$

則(4)經過變量替換後，得到
$I^2=\frac {1} {2\pi} \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty} e^{-\frac{r^2} {2}} r dr d\theta$

$I^2=(\frac {1} {2\pi} \int_{0}^{2\pi} d\theta)( \int_{0}^{\infty} e^{-\frac{r^2} {2}} r dr)$

$I^2=\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-\frac{r^2} {2}} dr^2=1$

又由於顯然有 $I>0$ ，因此可知
$I=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} {e^{-\frac{x^2}{2}}} dx=1 \tag{5}$

 

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3、$N\sim(\mu,\sigma^2)$的函數積分值

對於一般的正態分佈函數
$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi }\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^{2}} {2\sigma^2}} \tag{6}$

對 $x$ 進行變量替換，用 $z$ 表示
$z = \frac {x-\mu} {\sigma} , ~~~ dx = \sigma dz$

則該函數的積分值爲
$I = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{(x-\mu)^{2}} {2\sigma^2}} dx = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{z^{2}} {2}} \sigma dz = 1 \tag{7}$

上式中最後一步利用了(5)中的結果。
 

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4、分析與討論

    可以看出，不管$\sigma$的值爲多少，正態分佈密度函數在$(-\infty,\infty)$上的積分值都爲1，函數$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi }\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^{2}} {2\sigma^2}}$中前面係數的分母上的$\sigma$起到了歸一化的作用。$\sigma$越大，曲線越矮胖，表示數值的分佈越分散，這也與$\sigma$本身的含義一致——標準差。
    但是，如果缺少了前面分母中的$\sigma$，則該函數的積分值與$\sigma$成正比。這需要根據具體的應用場景來確定。