[数学] 一般正态曲线函数的积分怎么求？为什么总是1？

1、问题说明

在通信原理的判决门限和数字图像处理的阈值处理中，经常会遇到关于正态函数的积分值讨论。我们知道，标准正态分布$N\sim(1,0)$的函数积分值是1，即：

$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} {e^{-\frac{x^2}{2}}} dx=1$

证明过程如第2部分所示。

对于一般的情形$N\sim(\mu,\sigma^2)$，积分的结果又如何呢？这一点我们在第3部分讨论。
 

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2、$N\sim(1,0)$的函数积分值

记概率密度函数
$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^{2}} {2}}\tag{1}$

记$f(x)$在$(-\infty,\infty)$上的积分值为
$I=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x \tag{2}$

由于积分值与变量名无关，将 $x$ 换为 $y$ ，得
$I=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^{2}} {2}} dx=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{y^{2}} {2}} dy\tag{3}$

由于 $x$ 与 $y$ 相互独立，可由(3)得
$I^2=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^{2}} {2}} dx \times\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{y^{2}} {2}} dy$

$I^2=\frac {1} {2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^{2}+y^2} {2}} dx dy \tag{4}$

对 $x$ 和 $y$ 进行变量替换，
$x=rcos{\theta},~~~y=rsin{\theta}$

根据雅可比行列式计算出变量替换后的微分项：
$d x d y=\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)}\right| d r d \theta=\left|\begin{array}{ll} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial r} \\ \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{array}\right| d r d \theta=\left|\begin{array}{cc} \cos \theta & \sin \theta \\ -r \sin \theta & r \cos \theta \end{array}\right| d r d \theta=rdrd\theta$

则(4)经过变量替换后，得到
$I^2=\frac {1} {2\pi} \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty} e^{-\frac{r^2} {2}} r dr d\theta$

$I^2=(\frac {1} {2\pi} \int_{0}^{2\pi} d\theta)( \int_{0}^{\infty} e^{-\frac{r^2} {2}} r dr)$

$I^2=\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-\frac{r^2} {2}} dr^2=1$

又由于显然有 $I>0$ ，因此可知
$I=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} {e^{-\frac{x^2}{2}}} dx=1 \tag{5}$

 

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3、$N\sim(\mu,\sigma^2)$的函数积分值

对于一般的正态分布函数
$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi }\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^{2}} {2\sigma^2}} \tag{6}$

对 $x$ 进行变量替换，用 $z$ 表示
$z = \frac {x-\mu} {\sigma} , ~~~ dx = \sigma dz$

则该函数的积分值为
$I = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{(x-\mu)^{2}} {2\sigma^2}} dx = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{z^{2}} {2}} \sigma dz = 1 \tag{7}$

上式中最后一步利用了(5)中的结果。
 

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4、分析与讨论

    可以看出，不管$\sigma$的值为多少，正态分布密度函数在$(-\infty,\infty)$上的积分值都为1，函数$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi }\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^{2}} {2\sigma^2}}$中前面系数的分母上的$\sigma$起到了归一化的作用。$\sigma$越大，曲线越矮胖，表示数值的分布越分散，这也与$\sigma$本身的含义一致——标准差。
    但是，如果缺少了前面分母中的$\sigma$，则该函数的积分值与$\sigma$成正比。这需要根据具体的应用场景来确定。