D. Walk on Matrix（超詳細講了原理）

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D. Walk on Matrix

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標籤

• 構造

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簡明題意

• 假設有一個數字矩陣，每次可以向下或向右，問從左上角走到右下角的數字和最多是多少，那麼顯然這是一個dp。
• 現在不問你數字和，而是把路徑上的所有數都&起來，如果還是dp顯然是錯的。假設dp的到的結果是x，正確答案是y。
• 現在給定k，需要你構造一個矩陣，使得|y-x|=k

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思路

• 首先我們思考什麼時候dp是錯的。假設矩陣中有一個點(x,y)是10101.此時最多兩種選擇,從(x-1,y)或(x,y-1)轉移過來。再假設(x-1,y)是10000，(x,y-1)是101,如下表

        ?    10000
       101   10101

• 那麼dp時選擇(x-1,y)位置的10000，得到10000，選擇(x,y-1)位置的101，得到的是101，根據dp，(x,y)點會選擇10000而不是101.
• 現在假設矩陣是這樣的(也就是多了一項)

        ?    10000    ?
       101   10101   100

• 10101的結果是10000，那麼100選擇左邊時得到的是0。如果10101選擇了101得到101，那麼最後得到的結果就是100.由此可見，dp會優先選擇使更高的位爲1的數。
• 我們可以抓住dp的這個弱點，使得dp結果是0，而正確結果是k。現在思考如何構造。
• 上面的例子中，如果把第一行第三個數填0

       ?    10000    0
      101   10101   100

• 那麼不考慮左上角的? dp的結果就是0。現在考慮如何填寫？使得dp的結果仍然是0.我們只需要使得10000和101異或上？值不變即可。顯然？可以填成111111，使得10000和101都不變。

      10101   10000    0
       101    10101   100

• 這樣的矩陣，dp的答案是0.現在我們想想如何使正確答案爲k。顯然這裏從左上到右下一共有3條路徑，分別爲

____
     |        這一條結果爲0
      ____
  
|             
|_______        這一條結果非0

________
        |       這一條結果爲0
        |

• 由上可知我們只能操作第二條路徑使得第二條路徑的結果爲k。
• 利用剛纔的思路，我們可以讓k加上10···0（很大），使得某一步會錯誤地選擇10···0從而異或出很大的10···0。下面這個三角就是，10···0+k選擇上面的會形成10···0，而選擇左邊的k會形成k。

       ?      10···0
       k      10···0+k 

• 那麼我們可以再仿照最開始舉例思路，繼續填

      ?      10···0     0
      k      10···0+k   k

• 這樣，使得兩種路徑的&都是0，我們現在只需要確定左上角的？給根據上面的舉例，？填成1111···111即可。
• 當然也可以填10···0+k，只要使得？下面和右邊的數不變就可以了。
• 至於10···0具體是多少，題目說了k<=1e5，那麼$2^{17}>1e5$，填$2^{17}$即可。而左上角填$2^{18}-1$就行（當然也能$2^{17}+k$）。即：

      2^18-1   2^17     0
      k        2^17+k   k

• 這裏擴展一下，加入題目規定了矩陣的長寬，需要我們構造。那麼我們可以按照下面的構造：

      2^18-1    0       0   0   0
      2^18-1    0       0   0   0
      2^18-1   2^17     0   0   0
      k        2^17+k   k   k   k

也就是豎着用0 0 0 k填充，橫着用1111 0 0 0填充即可。

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注意事項

• 無

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總結

• 題目告訴你什麼方式是錯的，那麼就應該思考這種方法在哪種情況下是錯的。

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AC代碼

#pragma GCC optimize(2)
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring> 
#include<stack>
#include<map>
#include<queue>
#include<cstdio>	
#include<set>
#include<map>
#include<string>
using namespace std;

const int maxn = 1000 + 10;

void solve()
{
	int k;
	cin >> k;
	cout << "2 3" << endl;
	cout << ((1 << 18)-1) << " " << (1 << 17) <<" " << "0" << endl;
	cout << k << " " << ((1 << 17) + k) << " " << k << endl;
}
	
int main()
{
	//freopen("Testin.txt", "r", stdin);
	solve();
	return 0;
}