最全傅里葉變換和拉普拉斯變換公式總結

因爲傅里葉變換之類的很常用，時間長了不用總會忘記，所以一次性羅列出來權當總結好了。主要參考《信號與線性系統分析》(吳大正)，也有的部分參考了複變函數。

1.δδ-函數相關運算

   nn階導數的尺度變換

δ(n)(at)=1|a|1anδ(n)(t)δ(n)(at)=1|a|1anδ(n)(t)

 

   一階導數和函數的乘積

 

f(t)δ′(t−t0)=f(t0)δ′(t−t0)−f′(t0)δ(t−t0)f(t)δ′(t−t0)=f(t0)δ′(t−t0)−f′(t0)δ(t−t0)

 

   nn階導數和函數的乘積

 

f(t)δ(n)(t−t0)=∑i=0n(−1)i(ni)f(i)(t0)δ(n−i)(t−t0)f(t)δ(n)(t−t0)=∑i=0n(−1)i(ni)f(i)(t0)δ(n−i)(t−t0)

 

2.傅里葉級數和傅里葉變換

    傅里葉級數

 

f(x)=a02+∑n=1∞(ancosnπLx+bnsinnπLx)f(x)=a02+∑n=1∞(ancos⁡nπLx+bnsin⁡nπLx)

an=1L∫L−Lf(x)cosnπLxdxan=1L∫−LLf(x)cos⁡nπLxdx

bn=1L∫L−Lf(x)sinnπLxdxbn=1L∫−LLf(x)sin⁡nπLxdx

   半幅傅里葉級數

ϕ(x)=∑n=1∞CnsinnπxLϕ(x)=∑n=1∞Cnsin⁡nπxL

Cn=2L∫L0ϕ(x)sinnπxLdxCn=2L∫0Lϕ(x)sin⁡nπxLdx

  常見函數傅里葉變換

這裏傅里葉變換的定義中，因子12π12π統一放在逆變換前。gτ(t)gτ(t)指的是關於yy軸對稱寬度爲ττ的門函數

gτ(t)↔τSa(ωτ2)gτ(t)↔τSa(ωτ2)

其中SaSa即SincSinc.
 

e−atε(t)↔1a+iωe−atε(t)↔1a+iω

e−a|t|↔2aa2+ω2e−a|t|↔2aa2+ω2

e−at2↔πa−−√e−ω24ae−at2↔πae−ω24a

δ(t)↔1δ(t)↔1

ε(t)↔πδ(ω)+1iωε(t)↔πδ(ω)+1iω

cos(ω0t)↔π[δ(ω+ω0)+δ(ω−ω0)]cos⁡(ω0t)↔π[δ(ω+ω0)+δ(ω−ω0)]

sin(ω0t)↔iπ[δ(ω+ω0)−δ(ω−ω0)]sin⁡(ω0t)↔iπ[δ(ω+ω0)−δ(ω−ω0)]

tn↔2π(i)nδ(n)(ω)tn↔2π(i)nδ(n)(ω)

1t↔−iπsgn(ω)1t↔−iπsgn(ω)

δT(t)↔ΩδΩ(ω)δT(t)↔ΩδΩ(ω)

3.性質

   時域微分

f(n)(t)↔(iω)nF(ω)f(n)(t)↔(iω)nF(ω)

   時域積分

∫t−∞f(τ)dτ↔πF(0)δ(ω)+F(ω)iω∫−∞tf(τ)dτ↔πF(0)δ(ω)+F(ω)iω

   頻域微分

(−it)nf(t)↔F(n)(ω)(−it)nf(t)↔F(n)(ω)

   頻域積分

πf(0)δ(t)+f(t)−it↔∫ω−∞F(ν)dνπf(0)δ(t)+f(t)−it↔∫−∞ωF(ν)dν

   對稱性

F(t)↔2πf(−ω)F(t)↔2πf(−ω)

   尺度變換

f(at)↔1|a|F(ωa)f(at)↔1|a|F(ωa)

   時移

f(t±t0)↔e±iωt0F(ω)f(t±t0)↔e±iωt0F(ω)

   頻移

f(t)e±iω0t↔F(ω∓ω0)f(t)e±iω0t↔F(ω∓ω0)

 

3.卷積的微分性質

設f(t)=g(t)∗h(t)f(t)=g(t)∗h(t)，則f′(t)=g′(t)∗h(t)=g(t)∗h′(t)f′(t)=g′(t)∗h(t)=g(t)∗h′(t)

  卷積定理

時域f(t)=g(t)∗h(t)f(t)=g(t)∗h(t)，頻域有F(ω)=G(ω)H(ω)F(ω)=G(ω)H(ω)
時域f(t)=g(t)h(t)f(t)=g(t)h(t)，頻域有F(ω)=12πG(ω)∗H(ω)F(ω)=12πG(ω)∗H(ω)

周期函數fT(t)fT(t)傅里葉變換

由指數形式的傅里葉級數，兩邊取傅里葉變換，所以周期函數的傅里葉變換時受到2πFn2πFn調製的梳狀脈衝(TT代表週期，Ω=2πTΩ=2πT)

fT(t)↔2π∑n=−∞∞Fnδ(ω−nΩ)fT(t)↔2π∑n=−∞∞Fnδ(ω−nΩ)

4.拉普拉斯變換

因果信號f(t)f(t)可以顯式地寫爲f(t)ε(t)f(t)ε(t)，一個因果信號及其單邊拉普拉斯變換是一一對應的。每個非因果信號都對應唯一一個雙邊拉普拉斯變換，但是一個雙邊拉普拉斯變換在不同收斂域條件下，可以對應不同的非因果信號。

   常見的單邊拉普拉斯變換

gτ(t−τ2)ε(t)gτ(t−τ2)ε(t)

∑n=0∞δ(t−nT)↔11−e−Ts∑n=0∞δ(t−nT)↔11−e−Ts

ε(t)↔1sε(t)↔1s

tε(t)↔1s2tε(t)↔1s2

e−atε(t)↔1s+ae−atε(t)↔1s+a

sin(βt)ε(t)↔βs2+β2sin⁡(βt)ε(t)↔βs2+β2

cos(βt)ε(t)↔ss2+β2cos⁡(βt)ε(t)↔ss2+β2

sinh(βt)ε(t)↔βs2−β2sinh⁡(βt)ε(t)↔βs2−β2

cosh(βt)ε(t)↔ss2−β2cosh⁡(βt)ε(t)↔ss2−β2

  性質(雙邊拉普拉斯變換記爲Fb(s)Fb(s))

（單邊）尺度變換

f(at)↔1aF(sa),a>0f(at)↔1aF(sa),a>0

（雙邊）尺度變換

f(at)⟷b1|a|Fb(sa)f(at)⟷b1|a|Fb(sa)

（單邊）時移

f(t−t0)ε(t−t0)↔e−st0F(s)f(t−t0)ε(t−t0)↔e−st0F(s)

（雙邊）時移

f(t−t0)⟷be−st0Fb(s)f(t−t0)⟷be−st0Fb(s)

（單邊，雙邊）複頻移

es0tf(t)ε(t)↔F(s−s0)es0tf(t)ε(t)↔F(s−s0)

（單邊）時域微分，可遞推

f′(t)↔sF(s)−f(0−)f′(t)↔sF(s)−f(0−)

f′′(t)↔s2F(s)−sf(0−)−f′(0−)f″(t)↔s2F(s)−sf(0−)−f′(0−)

（雙邊）時域微分，可遞推

f′(t)⟷bsFb(s)f′(t)⟷bsFb(s)

（單邊）時域積分，可遞推

∫t0−f(τ)dτ↔1sF(s)∫0−tf(τ)dτ↔1sF(s)

∫t−∞f(τ)dτ↔1sF(s)+1s∫0−−∞f(τ)dτ∫−∞tf(τ)dτ↔1sF(s)+1s∫−∞0−f(τ)dτ

（雙邊）時域積分，可遞推

∫t0f(τ)dτ⟷b1sFb(s),α<σ<max(β,0)∫0tf(τ)dτ⟷b1sFb(s),α<σ<max(β,0)

∫t−∞f(τ)dτ⟷b1sFb(s),max(α,0)<σ<β∫−∞tf(τ)dτ⟷b1sFb(s),max(α,0)<σ<β

（單邊，雙邊）ss域微分，可遞推

(−t)f(t)↔dF(s)ds(−t)f(t)↔dF(s)ds

（單邊）ss域積分，可遞推

f(t)t↔∫∞sF(ν)dνf(t)t↔∫s∞F(ν)dν

對於傅里葉變換和拉普拉斯的積分性質，成立的條件是積分確實收斂，否則不成立。對於拉普拉斯變換的ss域積分性質，積分變量νν當作實數來積分（這一點可從其證明中看出來）.

（單邊，雙邊）時域卷積

f1(t)∗f2(t)↔F1(s)F2(s)f1(t)∗f2(t)↔F1(s)F2(s)

（單邊）拉普拉斯逆變換

可以將一個有理分式拆成多項式+真分式的形式F(s)=P(s)+B(s)A(s)F(s)=P(s)+B(s)A(s)，其中多項式部分的拉普拉斯逆變換是δδ函數的各階導數，真分式部分可以作部分分式分解，再分別做逆變換。先求分母A(s)A(s)的根:
（1）若s0s0爲一個單實根，則在部分分式中加入Ks−s0Ks−s0這一項，其中

K=[(s−s0)B(s)A(s)]∣∣∣s=s0K=[(s−s0)B(s)A(s)]|s=s0
（2）若s0,s∗0s0,s0∗爲一個單重共軛復根，則在部分分式中加入K1s−s0+K2s−s∗0K1s−s0+K2s−s0∗，係數KK的計算方法同上，其中K1K1和K2K2必然是共軛關係
（3）若s0s0爲一個r重實根，則在部分分式中加入

K1(s−s0)r+K2(s−s0)r−1+⋯+Krs−s0K1(s−s0)r+K2(s−s0)r−1+⋯+Krs−s0

其中

Ki={1(i−1)!di−1dsi−1[(s−s0)rB(s)A(s)]}∣∣∣s=s0Ki={1(i−1)!di−1dsi−1[(s−s0)rB(s)A(s)]}|s=s0

因果信號的單邊拉普拉斯變換和傅里葉變換的關係

由於因果信號的單邊拉普拉斯變換的收斂域在複平面上是一條豎線的右半開平面，收斂域σ>σ0σ>σ0。若有σ0<0σ0<0，即收斂域包含虛軸，則此時直接令拉普拉斯變換中的ss爲iωiω即可得到傅里葉變換（即令ss的實部σ=0σ=0）。若有σ0>0σ0>0，則此時收斂域不包括虛軸，傅里葉變換不存在。若有σ0=0σ0=0，則此時將拉普拉斯變換作部分分式分解，必然有分式的極點位於虛軸上，此時可將其餘極點不在虛軸上的部分分式作代換s→iωs→iω，而將極點位於虛軸上的部分，做逆變換求得時域形式，再作傅里葉變換（通常這部分和ε(t)ε(t)有關）。

反因果信號的雙邊拉普拉斯變換

現有反因果信號f(t)ε(−t)f(t)ε(−t)，則f(−t)ε(t)f(−t)ε(t)爲一個因果信號。求f(−t)ε(t)f(−t)ε(t)的單邊拉普拉斯變換F(s)F(s)且設收斂域σ>σ2σ>σ2.則有f(t)ε(−t)⟷bF(−s)f(t)ε(−t)⟷bF(−s)，收斂域σ<−σ2σ<−σ2

反因果信號的雙邊拉普拉斯逆變換

反因果信號及其雙邊拉普拉斯變換是一一對應的。現有Fb(s)Fb(s)爲某反因果信號的雙邊拉普拉斯變換，則先求出Fb(−s)Fb(−s)的單邊拉普拉斯逆變換f(t)f(t). 有f(−t)ε(−t)⟷bFb(s)f(−t)ε(−t)⟷bFb(s)

一般非因果信號的雙邊拉普拉斯正/逆變換

正變換：將f(t)f(t)分成因果信號與反因果信號的和，分別作雙邊變換，需要注意的是，收斂域爲因果信號與反因果信號各自的收斂域的交集.
逆變換：將Fb(s)Fb(s)進行部分分式分解，根據給定的收斂域區分哪些分式是因果的，哪些是反因果的，分別對它們進行雙邊拉普拉斯逆變換.