試題 歷屆試題 包子湊數
資源限制
時間限制：1.0s 內存限制：256.0MB
0x00 問題描述
小明幾乎每天早晨都會在一家包子鋪吃早餐。他發現這家包子鋪有N種蒸籠，其中第i種蒸籠恰好能放Ai個包子。每種蒸籠都有非常多籠，可以認爲是無限籠。
每當有顧客想買X個包子，賣包子的大叔就會迅速選出若干籠包子來，使得這若干籠中恰好一共有X個包子。比如一共有3種蒸籠，分別能放3、4和5個包子。當顧客想買11個包子時，大叔就會選2籠3個的再加1籠5個的（也可能選出1籠3個的再加2籠4個的）。
當然有時包子大叔無論如何也湊不出顧客想買的數量。比如一共有3種蒸籠，分別能放4、5和6個包子。而顧客想買7個包子時，大叔就湊不出來了。
小明想知道一共有多少種數目是包子大叔湊不出來的。
輸入格式
第一行包含一個整數N。(1 <= N <= 100)
以下N行每行包含一個整數Ai。(1 <= Ai <= 100)
輸出格式
一個整數代表答案。如果湊不出的數目有無限多個，輸出INF。
樣例輸入
2
4
5
樣例輸出
6
樣例輸入
2
4
6
樣例輸出
INF
樣例說明
對於樣例1，湊不出的數目包括：1, 2, 3, 6, 7, 11。
對於樣例2，所有奇數都湊不出來，所以有無限多個。
數據規模和約定
峯值內存消耗（含虛擬機） < 256M
CPU消耗 < 1000ms
請嚴格按要求輸出，不要畫蛇添足地打印類似：“請您輸入…” 的多餘內容。
0x01思路
這題和之前做過的題目：買不到的數目 可以說是一種類型的題目。
（做題目就是那麼奇妙，感覺這題不就是之前做過的題目原題嗎？
問法不一樣了而已。所以，秒A了這題~）
情況1：湊不出的數目爲無限多個
對於INF的情況，由做買不到的數目時的經驗可知：
當所有的ai的gcd不爲1時，湊不出的數目有無限多個。（做題經驗很有用哈~，具體證明我就…）
情況2：湊不出的數目爲有限多個
定義狀態dp[i]爲i是否可以由已知的數 拼湊到：
dp[i] = 1:表示可以；
dp[i] = 0:表示不可以；
用a[]保存已知的數，
那麼對於一個數 i:
它可能由:(i-a[j])+a[j]得到，並且此時i > a[j]；
邊界：dp[a[j]] = 1；
即的到狀態轉移方程： dp[i] = dp[i] || dp[i-a[j]],i > a[j]
然後只需要只需外層枚舉i,內層枚舉a[j]即可。
現在和上面提到的題目買不到的數目 有相同的問題，就是確定i的上界：
爲了快速AC,我沒有深入思考上界具體是多少,
直接根據做題經驗，根據題目數據範圍:N,ai <= 100，只有兩層循環，內層極端是100，所以可以估計 外層i 不會超過1e4。
（我是按計算不超過1e6粗略估計的，當然可以適當再大一點點。。）
事實證明我估計的還是能夠水過測試數據~
i的上界具體爲多少？
我AC後，也有思考並且測試：
- lcm(a[i])
- lcm(a[i]) - sum(a[i])
這兩種是我的猜測，但是測試後並不對。
所以我暫且將此題告落。
ps : 如果有幸讓大佬看到這篇博客，並且知道 i的上界具體值的確定方法，可以給我留言哦，謝了~
0x02代碼
#include <iostream>
const int N = 1e6+2;
const int MAX = 1e3+5;
using namespace std;
int a[MAX];
int dp[N];
int gcd(int a,int b)
{
return b?gcd(b,a%b):a;
}
int main()
{
int n;
cin>>n;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
cin>>a[i];
dp[a[i]] = 1;
}
int tmp = gcd(a[1],a[2]);
for(int i = 3; i <= n; ++i)
{
tmp = gcd(tmp,a[i]);
}
if(tmp != 1)
{
cout<<"INF"<<endl;
}
else
{
for(int i = 1; i <= 1e4; ++i)
{
for(int j = 1; j <= n; ++j)
{
if(dp[i]) break;
if(i > a[j])
dp[i] = dp[i] || dp[i-a[j]];
}
}
int ans = 0;
for(int i = 1; i <= 1e4; ++i)
{
//if(!dp[i]) cout<<i<<endl;
ans += !dp[i];
}
cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}