[785].判斷二分圖

判斷二分圖

 

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題目

給定一個無向圖graph，當這個圖爲二分圖時返回true。

如果我們能將一個圖的節點集合分割成兩個獨立的子集A和B，並使圖中的每一條邊的兩個節點一個來自A集合，一個來自B集合，我們就將這個圖稱爲二分圖。

graph將會以鄰接表方式給出，graph[i]表示圖中與節點i相連的所有節點。每個節點都是一個在0到graph.length-1之間的整數。

這圖中沒有自環和平行邊：graph[i] 中不存在i，並且graph[i]中沒有重複的值。

示例 1:

輸入: [[1,3], [0,2], [1,3], [0,2]]
輸出: true
解釋: 
無向圖如下:
0----1
|    |
|    |
3----2
我們可以將節點分成兩組: {0, 2} 和 {1, 3}。

示例 2:

輸入: [[1,2,3], [0,2], [0,1,3], [0,2]]
輸出: false
解釋: 
無向圖如下:
0----1
| \  |
|  \ |
3----2
我們不能將節點分割成兩個獨立的子集。

 

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函數原型

C的函數原型：

bool isBipartite(int** graph, int graphSize, int* graphColSize){}

 

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邊界判斷

注意:

graph 的長度範圍爲 [1, 100]。
graph[i] 中的元素的範圍爲 [0, graph.length - 1]。
graph[i] 不會包含 i 或者有重複的值。
圖是無向的: 如果j 在 graph[i]裏邊, 那麼 i 也會在 graph[j]裏邊。

上面明確了 graph 的訪問，並不存在 0 的情況，所以，這裏並不需要邊界判斷。

 

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算法設計：DFS

思路：用 DFS 進行染色，在二分圖的情況下，可以使用貪心思想給圖着色：一個節點爲藍色，說明它的所有鄰接點爲紅色，它的鄰接點的所有鄰接點爲藍色，依此類推。

• 使用 DFS 做二分圖檢測，需要不斷對沒有遍歷過的頂點進行染色，對遍歷過的頂點，查看是否矛盾。

• 如果產生矛盾，即某條邊的兩個端點顏色一樣，則說明整張圖不可能是二分圖，否則，整張圖就是二分圖。

• 用一個 visited 數組記錄是否訪問過了，再用一個 colors 數組記錄染色，但如果只是二分圖的話，因爲只有倆種顏色，所以只需要用一個 colors 數組即可。

bool dfs(int **graph, int size, int *col, int *color, int v,  int set)
{
    for (int j = 0; j < col[v]; j++) {                   // 遍歷頂點 v 所有相鄰的點
        if ( color[graph[v][j]] == 0 ) {                 // 如果當前鄰點沒有訪問過
             color[graph[v][j]] = (set == 'r' ? 'b' : 'r');    
            // 若當前鄰點的顏色是 'r'(紅色)，改爲 'b'(藍色)，否則 'r'(紅色)  --> 保證頂點 v 和頂點 v 所有相鄰點的顏色不同
            if ( !dfs(graph, size, col, color, graph[v][j], color[graph[v][j]]) ) {
                return false;
            }
        } else {
            if ( color[graph[v][j]] == set ) {           // 頂點顏色相同，出現矛盾
                return false;
            }
        }
    }

    return true;
}

bool isBipartite(int** graph, int graphSize, int* graphColSize)
{
    int *color = malloc(sizeof(int) * graphSize);
    memset(color, 0, sizeof(int) * graphSize);

    for (int i = 0; i < graphSize; i++) {
        if (color[i] == 0) {    // color 當做標記數組 visited，等於0 表示還沒訪問
            color[i] = 'r';     // 標記爲已訪問，並標記爲 'r'(紅色)
            if ( !dfs(graph, graphSize, graphColSize, color, i, 'r') ) {
                // 把頂點 i 的 顏色傳過去，如果 dfs==false，那就不是二分圖。
                return false;
            }
        }
    }

    return true;
}

DFS的複雜度：

• 時間複雜度：$\Theta(n)$
• 空間複雜度：$\Theta(1)$
   

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算法設計：BFS

思路：和 DFS 的思路一樣。

bool isBipartite(int** graph, int graphSize, int* graphColSize){
    int* colors = (int*)malloc(graphSize * sizeof(int));
    memset(colors, 0, graphSize * sizeof(int));

    // 模擬隊列
    int* pQueue = (int*)malloc(graphSize * sizeof(int));
    int front = -1;  // 隊尾
    int rear = -1;   // 隊頭
    int v = 0;       // 頂點v
    int set = 0;     // 顏色，0爲未定義+未訪問

    for (int i = 0; i < graphSize; i++)
    {   
        if (0 != colors[i])
            continue;

        pQueue[++rear] = i;
        colors[i] = 'r';

        while (front != rear)
        {   
            v = pQueue[++front];                        // 入隊
            set = (colors[v] == 'r' ? 'b' : 'r');

            for (int j = 0; j < graphColSize[v]; j++)
            {
                if (0 == colors[graph[v][j]]){
                    colors[graph[v][j]] = set;
                    pQueue[++rear] = graph[v][j];       // 出隊
                }else if (set != colors[graph[v][j]])   
                    return false;
            }
        }
    }
    free(colors);
    return true;
}

BFS的複雜度：

• 時間複雜度：$\Theta(n^{2})$
• 空間複雜度：$\Theta(n)$