高數打卡07

計算下列對座標的曲線積分：
$(1)\oint_{L}xydx,$其中$L$爲圓周$(x-a)^2+y^2=a^2(a>0)$及x軸所圍成的在第一象限內的區域的整個邊界(按逆時針方向繞行);
$(2)\oint_{\Gamma}dx-dy+ydz,$
其中$\Gamma$爲有向折線$ABCA,$這裏的$A,B,C$依次爲點$(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1);$
$(3)\int_{L}(x+y)dx+(y-x)dy,$其中$L$是曲線$x=2t^2+t+1,y=t^2+1,$從點$(1,1)$到點$(4,2)$的一段弧.

解：
$(1)L$由$L_1(圓弧)$和$L_2(直線段)$組成.$L_1$爲有向半圓弧:
$\left\{\begin{aligned} &x=a+acost,\\ &y=asint, \end{aligned}\right.$
$t$從0變到$\pi;$
$L_2$爲有向線段$y=0,x$從$0$變到$2a.$於是
$\oint_{L}xydx=\int_{L_1}xydx+\int_{L_2}xydx\\ =\int_{0}^{\pi}a(1+cost) \cdot asint \cdot (-asint)dt+0\\ =-a^3(\int_{0}^{\pi}sin^2tdt+\int_{0}^{\pi}sin^2tcostdt)\\ =-a^3(\frac{\pi}{2}+0)=-\frac{\pi}{2}a^3.\\$
$(2)$$\Gamma$由有向線段AB,BC,CA依次連接而成,其中
$AB:x=1-t,y=t,z=0,t從0變到1;\\ BC:x=0,y=1-t,z=t,t從0變到1;\\ CA:x=t,y=0,z=1-t,t從0變到1:\\$
$\int_{AB}dx-dy+ydz=\int_{0}^{1}[(-1)-1+0]dt=-2,\\ \int_{BC}dx-dy+ydz=\int_{0}^{1}[0-(-1)+(1-t) \cdot 1]dt=\int_{0}^{1}(2-t)dt=\frac{3}{2},\\ \int_{CA}dx-dy+ydz=\int_{0}^{1}(1-0+0)dt=1,$
因此
$\oint_{\Gamma}dx-dy+ydz=-2+\frac{3}{2}+1=\frac{1}{2}.$
$(3)$由$\left\{\begin{aligned} &2t^2+t+1=1,\\ &t^2+1=1\\ \end{aligned} \right.$
可得$t=0;$
由$\left\{\begin{aligned} &2t^2+t+1=4,\\ &t^2+1=2\\ \end{aligned} \right.$
可得$t=1;$
因此
$\int_{L}(x+y)dx+(y-x)dy=\int_{0}^{1}[2t^2+t+1+t^2+1) \cdot (4t+1)+(t^2+1-2t^2-t-1) \cdot 2t]dt \\ =\int_{0}^{1}(10t^3+5t^2+9t+2)dt=\frac{32}{3}.$