高數打卡08

計算曲線積分$\oint_{L}\frac{ydx-xdy}{2(x^2+y^2)},$其中$L$爲圓周$(x-1)^2+y^2=2,L$的方向爲逆方向.

解：在$L$所圍成的區域內的點$(0,0)$處,函數$P(x,y),Q(x,y)$均無意義.現取$r$爲適當小的正數,使圓周$l$(取逆時針方向):$x=rcost,y=rsint$($t$從$0$變到$2\pi$)位於$L$所圍成的區域內,則在由$L$和$l^-$所圍成的復連通區域$D$上,可應用格林公式,在$D$上有
$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{x^2-y^2}{2(x^2+y^2)^2}=\frac{\partial P}{\partial y},$
於是由格林公式得
$\oint_{L}\frac{ydx-xdy}{2(x^2+y^2)}+\oint_{l^-}\frac{ydx-xdy}{2(x^2+y^2)}=\iint_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=0$
從而
$\oint_{L}\frac{ydx-xdy}{2(x^2+y^2)}=\oint_{l^-}\frac{ydx-xdy}{2(x^2+y^2)} \\ =\int_{0}^{2\pi}\frac{-r^2sin^2t-r^2cos^2t}{2r^2}dt \\ =-\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}dt=-\pi.$