高數打卡11

計算下列對座標的曲面積分：
$\iint_{\sum}zdxdy+xdydz+ydzdx$
其中$\sum$是柱面$x^2+y^2=1$被平面$z=0$及$z=3$所截得的在第一卦限內的部分的前側；

由於柱面$x^2+y^2=1$在$xOy$ 面上的投影爲$0,$因此$\iint_{\sum}zdxdy=0.$
又
$D_{yz}=\{(y,z)|0\leq y\leq 1,0\leq z\leq 3\}\\ D_{zx}=\{(x,z)|0\leq z\leq 3,0\leq x\leq 1\}$
因$\sum$取前側,故
$\iint_{\sum}zdxdy+xdydz+ydzdx=\iint_{\sum}xdydz+\iint_{\sum}ydzdx\\ =\iint_{D_{yz}}\sqrt{1-y^2}dydz+\iint_{D_{zx}}\sqrt{1-y^x}dzdx\\ =\int_{0}^{3}dz\int_{0}^{1}\sqrt{1-y^2}dy+\int_{0}^{3}dz\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx\\ =\frac{3}{2}\pi$