理解和應用向量積與數量積

基本概念

向量：
    有大小、方向的量。

向量的模：
    向量的大小，記作：|向量|。

向量的模的計算：
    向量的各分量的平方和，再開平方。

零向量：
    模爲0的向量，記作：θ，它的方向任意。

單位向量：
    模爲1的向量。

負向量：
    方向與某向量相反的向量，稱爲某向量的負向量。記作：-某向量。例如：向量(1,2,3)是向量(-1,-2,-3)的負向量。

向量相等：
    方向相同，模相等的向量。

向量的座標：
    終點各分量－起點各分量。

向量運算法則：
    各個分量相加減。例如：有兩個向量(1,2,3)、(2,3,4)，相加後爲：(3,5,7)。

單位化：
    模的倒數與向量的數乘。

計算向量1在向量2上的投影（屬於內積）：
    向量1*單位化向量2，

方向餘弦：
    對應分量/模。

區別分析

數量積：
    別稱：
        點積、內積。
    代數意義：
        向量1(a,b)；向量2(c,d)；表達式：(a,b)·(c,d)=(ac+bd)。
    幾何意義：
        向量1(a,b)；向量2(c,d)；表達式：(a,b)·(c,d)=|向量1|·|向量2|cosθ。其中θ是兩個向量的夾            
        角，|向量2|cosθ是向量2在向量1的投影，
        大小意義：向量2給了向量1一個投影的增量+向量1自己的模，其中增量的大小是|向量2|cosθ。
        方向意義：方向與向量1相同，增量的方向即投影的方向也與向量1相同。

向量積：
    別稱：
        外積、叉積。   
    代數意義：
        向量1(a,b,c)；向量2(d,e,f)；表達式：(a,b,c)*(d,e,f)=(bf-ce,cd-af,ae-bd)。
    幾何意義：
        向量1(a,b,c)；向量2(d,e,f)；表達式：對|(a,b,c)*(d,e,f)|=|(a,b,c)|·|(d,e,f)|    
        ·sinθ，其中θ是兩個向量的夾角，|(d,e,f)|·sinθ與(a,b,c)垂直，即大小意義：連個向量爲鄰邊 
        的平行四邊形的面積，方向意義：兩個向量的向量積與這兩個向量正交，成右手系。
    特別注意：
        交換律不適用於向量積，而適用於反交換律，即(a,b,c)*(d,e,f)=-(d,e,f)*(a,b,c)。

混合積：
    向量1*向量2·向量3，記作[向量1,向量2,向量3]，規定先算向量積，再算數量積，即“先外後內”。
    幾何意義：
        方向意義：向量積的方向，
        大小意義：向量積的模作爲底面積，以第三個向量在向量積的方向的投影作爲高，一個四棱柱的體    
        積。
    注意：爲了方便描述向量積與數量積之間的運算，這裏命名爲混合積，實際上沒有混合積這種概念。

總結：
    1、向量對自己求向量積=0，原因在於兩個相同方向的向量圍不成平行四邊形。
    2、兩個正交基的向量積=另一個正交基。
    3、數量積是常數，向量積是向量，混合積是向量。