因數分解與算術基本定理

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因數分解與算術基本定理

素數的一些基本性質

斷言：令 $p$ 是素數，假設 $p$ 整除乘積 $ab$，則 $p$ 整除 $a$ 或 $p$ 整除 $b$（或者 $p$ 整除 $a$ 且 $p$ 整除 $b$）

證明：假設 $p$ 不整除 $a$，考慮 $gcd(a,p)$，此時 $gcd(a,p)=1$ 。應用線性方程定理可以求出以下方程的整數解：
$px+ay=1$
現在將方程兩邊同乘以 $b$ 得
$pbx+aby=b$
由於 $p$ 整除 $pb$，$p$ 整除 $ab$ ，則 $p$ 整除 $pbx$ 和 $aby$，也就整除他們的和 $b$

定理：（素數整除性質） 假設素數 $p$ 整除乘積 $a_1a_2\cdots a_r$，則 $p$ 整除 $a_1,a_2,\cdots,a_r$ 中至少一個因數。

證明：如果 $p$ 整除 $a_1$ 則證明完成，如果 $p$ 不整除 $a_1$，應用斷言到

$a_1(a_2a_3\cdots a_r)$
得出結論 $p$ 整除 $a_2a_3\cdots a_r$，重複以上過程，可以得到，$p$ 必然整除某個 $a_i$.

算術基本定理

定理：（算術基本定理） 每個整數 $n\geq2$ 可唯一分解成素數乘積
$n=p_1p_2\cdots p_t$

證明：算術基本定理可以分成以下兩個斷言：

**斷言1：**數 $n$ 可以以某種方式分解成素數乘積。

**斷言2：**這種因式分解唯一（因數重排除外）。

下面使用第二數學歸納法證明斷言1：

$n=2$ 時，由於 $n$ 是素數，已經完成分解，則斷言 1 成立。

假設 $n\leq N$ 時斷言 1 成立，接下來證明 $n=N+1$ 時結論成立：

1. 若 $N+1$ 爲素數，則其本身已經完成分解

2. 若 $N+1$ 爲合數，則按照合數的定義其可以分解爲 $N+1=n_1n_2,2\leq n_1,n_2\leq N$ . 而對於 $n_1,n_2\leq N$ 斷言1成立，從而 $n_1,n_2$ 可以分解爲素數的乘積即：
   $n_1=p_1p_2\cdots p_r\quad n_2=q_1q_2\cdots q_r$
   則
   $N+1=n_1n_2=p_1p_2\cdots p_rq_1q_2\cdots q_r$
   所以，$N+1$ 可以分解成素數的乘積，斷言 1 成立

接下來證明斷言 2：

假設我們將 $n$ 分解爲兩種形式的素數乘積：
$n=p_1p_2\cdots p_r=q_1q_2\cdots q_s$
由於 $p_1$ 整除 $n$，$p_1$也整除 $q_1q_2\cdots q_s$，但是由於 $p_i,q_i$ 均爲素數，由素數整除性質可知 $p_1$ 必定整除 $q_1q_2\cdots q_s$ 中的一個，如果重排 $q_i$ 可以使得 $p_1$ 整除 $q_1$，由於 $p_1,q_1$ 均爲素數，$p_1=q_1$。

將$p_1,q_1$從等式兩端消去：
$p_2p_3\cdots p_r=q_2q_3\cdots q_s$
繼續這個過程直到所有的 $p_i$ 或 $q_i$ 被消去，可以發現，等式的一端會變成 $1$ ，而此時剩餘的 $p_i$ 或 $q_i$ 等於 1。也就是說，$s=r$，且通過重排一定可以得到 $p_i=q_i$。

至此算術基本定理證明完成

那麼應該如何得到這一分解呢？

要將 $n$ 表示成素數乘積，用小於等於 $\sqrt{n}$ 的每個數（或正好每個素數）$2,3,\cdots$ 試除它，若沒有得到整除 $n$ 的整數，則 $n$ 本身是素數。否則求得的第一個因數是素數 $p$ 。分解得 $n=pm$ ，然後對 $m$ 重複這個過程。

可以看出這一過程效率極低，這樣，如果我們給某人 $n=pq$ 的乘積值，他不太可能通過分解 $n$ 來獲取 $p,q$ 的值。這一特性也是利用數論建立高度安全密碼這種重要應用的關鍵所在。