因数分解与算术基本定理

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因数分解与算术基本定理

素数的一些基本性质

断言:pp素数,假设 pp 整除乘积 abab,则 pp 整除 aapp 整除 bb(或者 pp 整除 aapp 整除 bb

证明:假设 pp 不整除 aa,考虑 gcd(a,p)gcd(a,p),此时 gcd(a,p)=1gcd(a,p)=1 。应用线性方程定理可以求出以下方程的整数解:
px+ay=1 px+ay=1
现在将方程两边同乘以 bb
pbx+aby=b pbx+aby=b
由于 pp 整除 pbpbpp 整除 abab ,则 pp 整除 pbxpbxabyaby,也就整除他们的和 bb

定理:(素数整除性质) 假设素数 pp 整除乘积 a1a2ara_1a_2\cdots a_r,则 pp 整除 a1,a2,,ara_1,a_2,\cdots,a_r 中至少一个因数。

证明:如果 pp 整除 a1a_1 则证明完成,如果 pp 不整除 a1a_1,应用断言到

a1(a2a3ar) a_1(a_2a_3\cdots a_r)
得出结论 pp 整除 a2a3ara_2a_3\cdots a_r,重复以上过程,可以得到,pp 必然整除某个 aia_i.

算术基本定理

定理:(算术基本定理) 每个整数 n2n\geq2 可唯一分解成素数乘积
n=p1p2pt n=p_1p_2\cdots p_t

证明:算术基本定理可以分成以下两个断言:

**断言1:**数 nn 可以以某种方式分解成素数乘积。

**断言2:**这种因式分解唯一(因数重排除外)。

下面使用第二数学归纳法证明断言1:

n=2n=2 时,由于 nn 是素数,已经完成分解,则断言 1 成立。

假设 nNn\leq N 时断言 1 成立,接下来证明 n=N+1n=N+1 时结论成立:

  1. N+1N+1 为素数,则其本身已经完成分解

  2. N+1N+1 为合数,则按照合数的定义其可以分解为 N+1=n1n2,2n1,n2NN+1=n_1n_2,2\leq n_1,n_2\leq N . 而对于 n1,n2Nn_1,n_2\leq N 断言1成立,从而 n1,n2n_1,n_2 可以分解为素数的乘积即:
    n1=p1p2prn2=q1q2qr n_1=p_1p_2\cdots p_r\quad n_2=q_1q_2\cdots q_r

    N+1=n1n2=p1p2prq1q2qr N+1=n_1n_2=p_1p_2\cdots p_rq_1q_2\cdots q_r
    所以,N+1N+1 可以分解成素数的乘积,断言 1 成立

接下来证明断言 2:

假设我们将 nn 分解为两种形式的素数乘积:
n=p1p2pr=q1q2qs n=p_1p_2\cdots p_r=q_1q_2\cdots q_s
由于 p1p_1 整除 nnp1p_1也整除 q1q2qsq_1q_2\cdots q_s,但是由于 pi,qip_i,q_i 均为素数,由素数整除性质可知 p1p_1 必定整除 q1q2qsq_1q_2\cdots q_s 中的一个,如果重排 qiq_i 可以使得 p1p_1 整除 q1q_1,由于 p1,q1p_1,q_1 均为素数,p1=q1p_1=q_1

p1,q1p_1,q_1从等式两端消去:
p2p3pr=q2q3qs p_2p_3\cdots p_r=q_2q_3\cdots q_s
继续这个过程直到所有的 pip_iqiq_i 被消去,可以发现,等式的一端会变成 11 ,而此时剩余的 pip_iqiq_i 等于 1。也就是说,s=rs=r,且通过重排一定可以得到 pi=qip_i=q_i

至此算术基本定理证明完成

那么应该如何得到这一分解呢?

要将 nn 表示成素数乘积,用小于等于 n\sqrt{n} 的每个数(或正好每个素数)2,3,2,3,\cdots 试除它,若没有得到整除 nn 的整数,则 nn 本身是素数。否则求得的第一个因数是素数 pp 。分解得 n=pmn=pm ,然后对 mm 重复这个过程。

可以看出这一过程效率极低,这样,如果我们给某人 n=pqn=pq 的乘积值,他不太可能通过分解 nn 来获取 p,qp,q 的值。这一特性也是利用数论建立高度安全密码这种重要应用的关键所在。

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