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因数分解与算术基本定理
素数的一些基本性质
断言:令 p 是素数,假设 p 整除乘积 ab,则 p 整除 a 或 p 整除 b(或者 p 整除 a 且 p 整除 b)
证明:假设 p 不整除 a,考虑 gcd(a,p),此时 gcd(a,p)=1 。应用线性方程定理可以求出以下方程的整数解:
px+ay=1
现在将方程两边同乘以 b 得
pbx+aby=b
由于 p 整除 pb,p 整除 ab ,则 p 整除 pbx 和 aby,也就整除他们的和 b
定理:(素数整除性质) 假设素数 p 整除乘积 a1a2⋯ar,则 p 整除 a1,a2,⋯,ar 中至少一个因数。
证明:如果 p 整除 a1 则证明完成,如果 p 不整除 a1,应用断言到
a1(a2a3⋯ar)
得出结论 p 整除 a2a3⋯ar,重复以上过程,可以得到,p 必然整除某个 ai.
算术基本定理
定理:(算术基本定理) 每个整数 n≥2 可唯一分解成素数乘积
n=p1p2⋯pt
证明:算术基本定理可以分成以下两个断言:
**断言1:**数 n 可以以某种方式分解成素数乘积。
**断言2:**这种因式分解唯一(因数重排除外)。
下面使用第二数学归纳法证明断言1:
n=2 时,由于 n 是素数,已经完成分解,则断言 1 成立。
假设 n≤N 时断言 1 成立,接下来证明 n=N+1 时结论成立:
-
若 N+1 为素数,则其本身已经完成分解
-
若 N+1 为合数,则按照合数的定义其可以分解为 N+1=n1n2,2≤n1,n2≤N . 而对于 n1,n2≤N 断言1成立,从而 n1,n2 可以分解为素数的乘积即:
n1=p1p2⋯prn2=q1q2⋯qr
则
N+1=n1n2=p1p2⋯prq1q2⋯qr
所以,N+1 可以分解成素数的乘积,断言 1 成立
接下来证明断言 2:
假设我们将 n 分解为两种形式的素数乘积:
n=p1p2⋯pr=q1q2⋯qs
由于 p1 整除 n,p1也整除 q1q2⋯qs,但是由于 pi,qi 均为素数,由素数整除性质可知 p1 必定整除 q1q2⋯qs 中的一个,如果重排 qi 可以使得 p1 整除 q1,由于 p1,q1 均为素数,p1=q1。
将p1,q1从等式两端消去:
p2p3⋯pr=q2q3⋯qs
继续这个过程直到所有的 pi 或 qi 被消去,可以发现,等式的一端会变成 1 ,而此时剩余的 pi 或 qi 等于 1。也就是说,s=r,且通过重排一定可以得到 pi=qi。
至此算术基本定理证明完成
那么应该如何得到这一分解呢?
要将 n 表示成素数乘积,用小于等于 n 的每个数(或正好每个素数)2,3,⋯ 试除它,若没有得到整除 n 的整数,则 n 本身是素数。否则求得的第一个因数是素数 p 。分解得 n=pm ,然后对 m 重复这个过程。
可以看出这一过程效率极低,这样,如果我们给某人 n=pq 的乘积值,他不太可能通过分解 n 来获取 p,q 的值。这一特性也是利用数论建立高度安全密码这种重要应用的关键所在。