高數打卡12

放兩個公式：
高斯公式：
$\iiint_{\Omega}(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dv=\oiint {\partial \Omega}(Pcos\alpha+Qcos\beta+R\cos\gamma)dS$
斯托克斯公式：
$\oint_{\Gamma}Pdx+Qdy+Rdz=\iint_{\sum}\begin{vmatrix} cos\alpha&cos\beta&cos\gamma\\ \frac{\partial}{\partial P}&\frac{\partial}{\partial Q}&\frac{\partial}{\partial R}\\ P&Q&R\\ \end{vmatrix}dS$

1.利用高斯公式計算曲面積分：
$\oiint_{\sum}xdydz+ydzdx+zdxdy$
其中$\sum$是界於$z=0$和$z=3$之間的圓柱體$x^2+y^2\leq 9$的整個表面的外側.

解：
$\oiint_{\sum}xdydz+ydzdx+zdxdy=\iiint_{\Omega}(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dv\\ =\iiint_{\Omega}(1+1+1)dv=3\iiint_{\Omega}dv =81\pi.$
2.利用斯托克斯公式計算曲線積分：
$\oint_{\Gamma}ydx+zdy+xdz$
其中$\Gamma$是圓周$x^2+y^2+z^2=a^2,x+y+z=0,$若從$x$軸的正向看去,這圓周是取逆時針方向.

解：
取$\sum$爲平面$x+y+z=0$的上側被$\Gamma$所圍成的部分,則$\sum$的面積爲$\pi a^2,$$\sum$的單位法向量爲
$n=(cos\alpha,cos\beta,cos\gamma)=(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})$
由斯托克斯公式
$\oint_{\Gamma}ydx+zdy+xdz=\iint_{\sum}\begin{vmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{\partial}{\partial P}&\frac{\partial}{\partial Q}&\frac{\partial}{\partial R}\\ y&z&x\\ \end{vmatrix}dS\\ =\iint_{\sum}(-\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}})dS=-\frac{3}{\sqrt{3}}\iint_{\sum}dS\\ =-\sqrt{3}\pi a^2.$