第九章 代數系統簡介 9.3 幾個經典的代數系統

9.3 幾個經典的代數系統

本節考察半羣，羣，環，域。我們精簡的來說。

判斷方法：

1. 首先，大前提是代數系統。就是說第一步我們要看他是否封閉。
2. 在是代數系統的基礎上，若$V = <S,*>$中$*$運算是可結合的，那麼$V$是半羣。
3. 在半羣的基礎上，若$V = <S,*>$中$*$運算的單位元在集合$S$裏面，那麼$V$是獨異點。
4. 在獨異點的基礎上，若集合$S$裏面的所有元素的逆元都在集合$S$裏面，那麼$V$是羣。（所以羣裏不能用零元）

記住上面的概念就夠用了，下面背幾道例題。

例1：
12階循環羣的生成元是什麼？

G = {e,a,……,$a^{11}$} 中與12互質的數有1 , 5 ，7 ，11.
所以G的生成元就是$a^1$，$a^5$，$a^7$，$a^{11}$

例2：
求12階羣的子羣？

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環和域就更噁心了。個人感覺不會怎麼考。

環：

解析：

• 阿貝爾羣就是在羣的基礎上，對於其二元運算可交換。

• 判斷不是環的比較好的方法是：
  <1>先看其 $\cdot$ 和 + 的運算是否封閉。
  <2>看+的單位元在不在R裏面
  <3>看$\cdot$的單位元在不在R裏面
  <4>看對於+的每個逆元在不在R裏面

例題：

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域：

相信我，可能不考域，一定不考域，必須不考域。