ACM亞洲區域賽銅牌獲得者，哈工大計算機碩士畢業，先後在騰訊和百度採坑，微信搜索「代碼隨想錄」，這裏有更多算法乾貨等着你呢，也期待能和你交個朋友😆
相信很多人對二分法是又愛又恨，愛是在於它思想簡單，效率確實高， 恨是恨在爲什麼總是寫不對呢
二分查找涉及的很多的邊界條件，邏輯比較簡單，就是寫不好
甚至有的同學乾脆把二分法背來了得了
其實背過的同學應該會有體會，硬背二分法，過一段時間依然會寫錯
例如 循環中到底是 小於 還是 小於等於， 到底是+1 呢，還是要-1呢
這是爲什麼呢，主要是我們對區間的定義沒有想清楚，這就是我們的不變量
我們要在二分查找的過程中，保持不變量，這也就是循環不變量 （感興趣的同學可以查一查）
接下來我通過leetcode上一道面試題，來讓大家一次性徹底掌握二分法
題目是leetcode編號35的面試題. 搜索插入位置
題目地址:https://leetcode-cn.com/problems/search-insert-position/
分析題目
這道題目，我們要在數組中插入目標值，無非是這四種情況
- 目標值在數組所有元素之前
- 目標值等於數組中某一個元素
- 目標值插入數組中的位置
- 目標值在數組所有元素之後
這四種情況確認清楚了，我們就可以嘗試解題了
暴力解法思路很直接，就是for循環遍歷一下，時間複雜度是O(n)
既然暴力解法的時間複雜度是On，我們就要嘗試一下使用二分查找法。
二分法
大家注意這道題目的前提是數組是有序數組，這也是使用二分查找的基礎條件
以後大家只要看到面試題裏給出的數組是有序數組，都可以想一想是否可以使用二分法。
同時題目還強調數組中無重複元素，因爲一旦有重複元素，使用二分查找法返回的元素下表可能不是唯一的。
下圖來闡述一下二分法的大體思路，例如在這個數組arr中，我們使用二分法尋找元素爲5的位置，並返回其下標，如下圖
- 開始左邊界爲0，右邊界下表爲7，那麼中間位置下表是3， arr[3] > 5
- 左區間爲我們下一步的查找範圍，
- 左邊界爲0，右邊界爲2，中間位置下表爲1 arr[1] < 5
- 右區間爲我們下一步的查找範圍
- 左邊界2，右邊界2，a[2] == 5，
- 返回下表2。
這就是二分查找的答題思想。 其實，還有很多邊界細節需要注意，接下來我們來看一下具體的代碼實現
接下來呢我們來看一下二分法具體實現
二分法第一種寫法
我們定義 target 是在一個在左閉右閉的區間裏，也就是[left, right]
這就決定了我們 這個二分法的代碼如何去寫，大家看如下代碼
class Solution {
public:
int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
int n = nums.size();
int left = 0;
int right = n - 1; // 我們定義target在左閉右閉的區間裏，[left, right]，這個區間的定義就是我們的不變量，接下來，要在下面的循環中，堅持這個不變量，我們就知道其中的邊界條件應該怎麼判斷了
while (left <= right) { // 爲什麼是<=呢，因爲當left==right，區間[left, right]依然有效
int middle = left + ((right - left) / 2);// 防止溢出 等同於(left + right)/2
if (nums[middle] > target) {
right = middle - 1; // target 在左區間，因爲我們的區間是左閉右閉的區間，nums[middle]一定不是我們的目標值，所以在right = middle - 1在[left, middle - 1]區間中繼續尋找目標值
} else if (nums[middle] < target) {
left = middle + 1; // target 在右區間，所以[middle + 1, right]
} else { // nums[middle] == target
return middle;
}
}
// 分別處理如下四種情況
// 目標值在數組所有元素之前，此時區間爲[0, -1]，所以return right + 1
// 目標值等於數組中某一個元素 return middle;
// 目標值插入數組中的位置，一定是我們查找的範圍 [left, right]之後，return right + 1
// 目標值在數組所有元素之後的情況，也是我們查找的範圍 [left, right]之後， return right + 1
return right + 1;
}
};
時間複雜度：O(logn)
時間複雜度：O(1)
效率如下：
二分法第二種寫法
如果說我們定義 target 是在一個在左閉右開的區間裏，也就是[left, right)
那麼二分法的邊界處理方式則截然不同。
不變量是[left, right)的區間，如下代碼可以看出是如何在循環中堅持不變量的。
class Solution {
public:
int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
int n = nums.size();
int left = 0;
int right = n; // 我們定義target在左閉右開的區間裏，[left, right) 這是
while (left < right) { // 因爲left == right的時候，在[left, right)是無效的空間
int middle = left + ((right - left) >> 1);
if (nums[middle] > target) {
right = middle; // target 在左區間，因爲是左閉右開的區間，nums[middle]一定不是我們的目標值，所以right = middle，在[left, middle)中繼續尋找目標值
} else if (nums[middle] < target) {
left = middle + 1; // target 在右區間，在 [middle+1, right)中
} else { // nums[middle] == target
return middle; // 數組中找到目標值的情況，直接返回下標
}
}
// 分別處理如下四種情況
// 目標值在數組所有元素之前，此時區間爲 [0,0)，所以可以return right
// 目標值等於數組中某一個元素 return middle
// 目標值插入數組中的位置 [left, right) ，return right 即可
// 目標值在數組所有元素之後的情況 [left, right)，return right 即可
return right;
}
};
時間複雜度：O(logn)
時間複雜度：O(1)
總結
從上面兩種二分法的代碼中，我們可以看到是如何處理二分查找過程中的邊界情況
很多同學二分寫不好，就是因爲邊界總是不知道 該是<= 還是< 呢，
是 right = middle - 1呢 還是 right = middle呢
這都是因爲沒有意識到去區間的定義，區間的定義就是我們的不變量
在二分部查找的過程只要遵循着區間的定義也就是這個不變量
我們就可以很輕鬆的寫出二分法
以上講解大家應該對二分法中循環不變量有一個直觀的感受
理解的查找區間的定義（不變量），然後在二分循環中遇到了不知該如何處理的邊界條件的時候
就去想一下 我們區間的定義，這樣就知道邊界條件應該如何去寫了
通過這次講解希望幫助大家可以徹底理解二分法，加油！
更過乾貨文章持續更新，可以微信搜索「代碼隨想錄」第一時間圍觀，關注後，回覆「Java」「C++」 「python」「簡歷模板」等等，有我整理多年的學習資料、簡歷模板和電子書。
求職內推也可以找我，首推百度。騰訊、阿里、頭條等也可以幫忙聯繫