20應用統計考研複試要點(part19)--概率論與數理統計

學習筆記，僅供參考，有錯必糾

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茆詩鬆概率論與數理統計

隨機事件與概率

概率的性質

利用概率的公理化定義（非負性、正則性和可列可加性），可以導出概率的一系列性質。以下我們逐個給出概率的一些常用性質。

• 性質1

$P(\emptyset)=0$

• 性質2(有限可加性)

若有限個事件$A_1,A_2,...,A_n$互不相容，則有:
$P \left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) = \sum_{i=1}^n P(A_i)$

• 性質3

對任一事件A，有：
$P(\overline{A})=1-P(A)$

• 性質4

若$A \supset B$，則：
$P(A-B)=P(A)-P(B)$

推論(單調性)：若$A \supset B$，則$P(A) \ge P(B)$

• 性質5

對任意兩個事件A，B，有：
$P(A-B)=P(A)-P(AB)$

• 性質6(加法公式)

對任意兩個事件A，B，有：
$P(A \bigcup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$

推論(半可加性)：對任意兩個事件A，B，有$P(A \bigcup B) \le P(A) + P(B)$

對於任意n個事件$A_1,A_2,...,A_n$，有：
$P \left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) \le \sum_{i=1}^n P(A_i)$

• 概率的連續性

(略)P37

• 性質7(概率的連續性)

若P爲事件域上的概率，則P既是下連續的，又是上連續的。

• 性質8

若P爲事件域上滿足$P(\Omega)=1$的非負集合函數，則它具有可列可加性的充要條件是：

(1)它是有限可加的；

(2)它是下連續的。