環和域（二元運算）

1. 環：設<R，+，·>是一個代數系統，如果滿足
（1）<R，+>是阿貝爾羣；
（2）<R，·>是半羣；
（3）運算·對於運算+是可分配的則稱<R，+，·>是環。

2. 零因子和無零因子環定義：設<R，+，·>是環，對 a, b ∈ R, a ≠ 0，b ≠ 0，但a . b = 0，則稱a是R中的一個左零因子，b是R中的一個右零因子，若一個元素既是左零因子，又是右零因子，則稱它是一個零因子

定義R是一個環，對於任意的a ,b∈ R，若a . b = 0,則a = 0或b = 0，就稱R是一個無零因子環

定理：設<R，+，·>是環，R是無零因子環的充分必要條件是：在R中乘法適合消去律。即對任意a，b，c ∈ R，若與 a . b = a . c（或b . a = c . a）則有b = c

定義設<R，+， .>是環，如果<R，+， .>是可交換的，則稱<R，+， .>是可交換環

3. 整環

定義：設<A, +, .>是一個代數系統，若滿足：

（1）<A, +,>是阿爾貝羣

（2）<A, .>是可交換的獨異點，且沒有零因子，即對a, b ∈ R, a ≠ 0，b ≠ 0，但a . b = 0

（3）運算. 對+是可以分配的

4. 除環

定義設<R，+， .>是環，而且|R| >= 2：

（1）R有幺元

（2）每個零元都有逆元，則稱<R, +, .>是除環

如果一個除環是可以交換的稱爲域