2020.05.10日常总结——最小割略讲

$\color{green}{\texttt{最小割略讲}}$

• $\color{blue}{\texttt{Part one：什么是最小割}}$

  • 割：割是原图中的一个 $\color{red}{\texttt{边集}}$。如果把一个边集中的边删除后，$s$ 和 $t$ 不连通。更学术的说法是：把图分为 $X,Y$ 两个点集，其中 $X$ 和 $Y$ 无交集且 $s \in X,t \in Y$。
  • 割的大小：割的大小定义为割中所有边的容量和，即割 $E$ 的大小为：
    $\sum\limits_{(u,v) \in E} c_{u,v}$
  • 最小割：即大小最小的割

• $\color{blue}{\texttt{Part two：如何求最小割}}$

  • 最大流最小割定理：一个图的最大流 $=$ 最小割
  • 求解：直接跑最大流算法，求出的结果即为最小割的大小
  • 方案：从 $s$ 开始 dfs，只走残余流量 $>0$ 的边，即可找到所有 $X$ 中的点
  • 割边数量：把所有边的容量变成 $1$，直接 dinic

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$\color{green}{\texttt{实例——洛谷 P1345}}$

$\color{blue}{\texttt{【题意】：}}$

$\color{blue}{\texttt{【思路】：}}$ 题目让我们求的是点集，但是直接跑求出的是边集，这该怎么办呢？

解决方法需要用到 $\color{red}{\texttt{拆点}}$ 这一图论中常用的技巧。我们把一个点 $i$ 变成两个点 $i$ 和 $i+n$。$i$ 负责连入，$i+n$ 负责连出。什么意思：就是原本一条边 $(u,v)$ 拆成两条边 $(u+n,v)$ 和 $(v+n,u)$，容量为正无穷。

如何控制一个点只能被删除一次呢？我们从每个点 $i$ 向 $i+n$ 连一条容量为 $1$ 的点就可以啦。然后直接跑最大流就搞定了这一题。

$\color{blue}{\texttt{【代码】：}}$

const int N=210,M=1420;
struct edge{//链式前向星 
	int next,to,dis;
}e[M<<1];int h[N],tot=1;
inline void add(int a,int b,int c){
	e[++tot]=(edge){h[a],b,c};h[a]=tot;
	e[++tot]=(edge){h[b],a,0};h[b]=tot;
}
int dep[N],cur[N],n,m,s,t,ans;
inline bool bfs_init(int s,int t){
	memset(dep,-1,sizeof(dep));
	dep[s]=1;queue<int> q;q.push(s);
	while (!q.empty()){//把图分层 
		register int u=q.front();q.pop();
		for(int i=h[u];i;i=e[i].next){
			register int to=e[i].to;
			if (dep[to]==-1&&e[i].dis>0){
				dep[to]=dep[u]+1;
				q.push(to);
			}
		}
	}
	return dep[t]!=-1;
}
inline int dfs(int u,int dist){
	if (u==t) return dist;int flow=0;
	for(int &i=cur[u];i;i=e[i].next){
		register int to=e[i].to,tmp;
		if (e[i].dis>0&&dep[to]==dep[u]+1){
			if ((tmp=dfs(to,min(dist,e[i].dis)))>0){
				dist-=tmp;flow+=tmp;e[i].dis-=tmp;e[i^1].dis+=tmp;
				if (dist==0) return flow;//没有剩余的流量，直接返回 
			}
		}
	}
	if (dist!=0) dep[u]=-1;
	return flow;
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
inline int dinic_algorithm(){
	register int ans=0,tmp;
	while (bfs_init(s+n,t)){
		memcpy(cur,h,sizeof(h));
		while ((tmp=dfs(s+n,inf))>0)
			ans+=tmp;//累计增广答案 
	}
	return ans;
}
inline void add_edge(int u,int v,int t){
	add(u+n,v,t);add(v+n,u,t);
}
int main(){
	scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
	for(int i=1,u,v;i<=m;i++){
		scanf("%d%d",&u,&v);
		add_edge(u,v,inf);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		add(i,i+n,1);
	ans=dinic_algorithm();
	printf("%d",ans);
	return 0;
}