LP对偶费用流 TopCoder SRM 676 div1 Farmville（最大费用循环流，对偶原理）

感觉这个年代已经没有人知道什么是对偶了。
对偶原理与线性规划详见2016集训队论文（没看过而且不知道什么是对偶的可能看不懂我这博客在讲什么）

$\begin{aligned} &maximize \ c^Tx\\&s.t. \ Ax\leq b \\& \ \ \ \ \ \ \ \ x \geq 0\end{aligned}$

对偶于

$\begin{aligned} &minimize\ b^Tx\\&s.t. \ A^Tx\geq c \\& \ \ \ \ \ \ \ \ x \geq 0\end{aligned}$

其中$b,c,x$皆为列向量，$A$为矩阵，$A^T$为矩阵的转置。
这两个最优化问题的答案相等。（强对偶）
一张图很生动的描述了对偶现象的形式。

$LP$对偶费用流就是对于一个最大费用循环流问题。

$\begin{aligned} &maximize \ \sum_{u,v} cost_{u,v}f_{u,v}\\s.t. \ &f_{u,v} \leq cap_{u,v} \\&\sum_{i} f_{j,i} - \sum_{i} f_{i,j} \leq 0\\&\sum_{i} f_{i,j} - \sum_{i} f_{j,i} \leq 0 \\&f_{u,v} \geq 0\end{aligned}$

第一行是费用，第二行是流量限制，第三行和第四行是流量守恒。
一定要注意上面的这个线性规划，他的$c^T$是什么，他的$x$是什么，他的$A$长什么样子，那样看到对偶形式的时候才不会蒙圈。
但是这里要说明的是，我们应该在第三行和第四行中只留下一个，因为在一个图中，每个点入度 $\leq$出度即可构成入度$=$出度。
对偶形式：
$v_{i,j}+\phi_i-\phi_j\ge cost_{i,j}\\minimize \sum v_{i,j}\times b_{i,j}$

这里的$\phi_i$和$\phi_j$其实，在我们上面的$A$矩阵中，就是最下面几行构成的变量，每列只会有三个地方有值，变量为$v_{i,j},+\phi(i),-\phi(j)$，又因为原来是$\leq 0$，所以计算最小值的时候不需要考虑$\phi(i)$造成的贡献。
而这道题正好满足下面这个线性规划，可以对偶成最大费用循环流，把所有正权边强制选了之后把入度出度不相等的点向$T$/从$S$连边，然后变成有源汇最大费用最大流（要流量平衡所以需要最大流）。