20應用統計考研複試要點(part37)--概率論與數理統計

學習筆記，僅供參考，有錯必糾

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概率論與數理統計(茆詩鬆/陳希孺)

• 總體與個體

在一個統計問題中，我們把研究對象的全體稱爲總體，構成總體的每個成員稱爲個體。

• 樣本和樣品

爲了瞭解總體的分佈，我們從總體中隨機地抽取n個個體，記其指標值爲$x_1,x_2,...,x_n$則$x_1,x_2,...,x_n$稱爲總體的一個樣本，n稱爲樣本容量，或簡稱樣本量，樣本中的個體稱爲樣品。

需要指出的是，樣本具有所謂的二重性:一方面，由於樣本是從總體中隨機抽取的，抽取前無法預知它們的數值，因此，樣本是隨機變量，用大寫的$X_1,X_2,...,X_n$表示；另一方而，樣本在抽取以後經觀測就有確定觀測值，因此，樣本又是一組數值，此時用小寫字母$x_1,x_2,...,x_n$表示。

• 對樣本的要求

從總體中抽取樣本可以有不同的抽法，爲了能由樣本對總體作出較可靠的推斷，就希望樣本能很好地代表總體，這就需要對抽樣方法提出一此要求，最常用的"簡單隨機抽祥"有如下兩個要求：

(1)樣本具有隨機性，即要求總體中每一個個體都有同等機會被選入樣本。

(2)樣本要有獨立性，即要求樣本中每一樣品的取值不影響其他樣本的取值。

用簡單隨機抽樣方法得到的樣本稱爲簡單隨機樣本，也簡稱樣本。

• 經驗分佈函數

• 格里紋科定理

• 統計量及抽樣分佈

• 樣本均值的精確分佈和漸近分佈

設$x_1,x_2,...,x_n$是來自某個總體的樣本，$\overline{x}$爲樣本均值：

• 樣本矩及其函數

樣本均值和樣本方差的更一般的推廣一是樣本矩，這是一類常見的統計量。

設$x_1,x_2,...,x_n$是樣本，k爲正整數，則統計量：
$a_k=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i^k$
稱爲樣本k階原點矩，特別，樣本一階原點矩就是樣本均值。

統計量：
$b_k= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^k$
稱爲樣本k階中心矩，特別，樣本二階中心矩就是樣本方差。

• 卡方分佈

• F分佈

• t分佈