【信號與系統學習筆記】—— 連續時間信號的離散時間處理

在此之前，我想重新回顧一下理想採樣的頻譜特徵，同樣地，先看看框圖：

這裏是兩個時間信號在時域上的相乘運算。根據傅里葉變換的特性：$x(t)s(t) \space \underleftrightarrow{\mathscr{F}} \space \frac{1}{2π}\int_{-∞}^{+∞}X(jθ)S(j(ω - θ))dθ$
而我們知道，$S(ω)$ 是一系列週期爲 $T_s$，幅度是 $\frac{2π}{T_s}$ 的衝激串。跟外面的係數 $\frac{1}{2π}$ 相乘，我們可以知道：

經過理想採樣之後的信號的頻譜，就是首先原信號 $x(t)$ 的頻譜幅度變成了 $\frac{1}{T_s}$，然後再以 $ω_s$ 做週期延拓所得到的。 如下圖示所示：

OK！這就是上一次博客的內容。下面我們進入正題—— “連續時間信號的離散時間處理”。這名字這麼繞口，爲什麼要這樣做呢？

首先，在很多應用裏面，我們都是先把連續時間信號轉化爲離散時間信號，對這個離散時間信號做處理，然後再把離散時間信號轉回連續時間信號。這樣做有一個顯著的好處：我們的計算機非常善於處理離散信號。

下面我們直接先來看看這個過程的框圖：

我們學習這一部分的要求就是能夠熟練地畫出上圖所示的各種信號的頻譜。下面我們來看看：

Part1 包括兩個部分 —— 理想採樣 + 衝激串到序列（這兩個部分構成的就是我們所說的 C/D 轉換，也叫 A/D 轉換）即連續時間信號轉離散時間信號。我們先從時域分析一下：

這是 $x_c(t)$ 的波形：

那麼我們就可以畫出 $x_s(t)$ 的波形：

到這裏有些讀者可能就會納悶了 —— 你這經過採樣之後不就已經是離散信號了嗎，那爲什麼還要加上 “ 衝激串到序列”這一步呢？其實大家注意：雖然看起來已經是離散的形式了，可是我們的橫軸還是 “t" ！我們需要轉爲 “n” ，纔是真正完成了離散化的步驟。

因爲對於離散信號而言，n 都要死整數，所以我們希望得到下面的離散時間信號：

那麼，我們就會發現：只要對 $x_s(t)$ 的橫軸都除以 $T_s$ ，就可以得到這個 $x_d[n]$ 了！這就完成了離散化處理。

下面我們從頻域分析一下：根據對偶性給我們帶來的啓發——如果在時域上做除以 $T_s$ 的處理，那麼在頻域上就需要做 乘以 $T_s$ 的處理！

首先，$x_c(t)$ 的頻譜大家已經非常熟悉了：

經過理想採樣得到的頻譜就是：

如果我們設離散時間信號的頻譜的橫座標用 $Ω$ 表示，那麼可以得到：

$ω_s$ 乘上 $T_s$ 就會得到 $2π$

我們把時頻放在一起對比：

我們得到了一個重要結論：對於連續時間下的衝激串要轉換爲離散時間的序列

1. 時域上有：$n = \frac{t}{T_s}$
2. 頻域上有：$Ω = ωT_s$

---

有了 C/D的基礎，D/C 也不在話下了：D/C 過程中，我們同樣是遵循上面兩條公式的。