中位因數(數論）

中位因數(數論）

思路：分析可知：除了完全平方數外，因數肯定是成對出現。

設$a[i]$爲$i$的中位因數。

所以當$n$爲完全平方數時，顯然因數個數爲奇數個，顯然$a[i]=\sqrt{i}$

當$n$不爲完全平方數時，因數爲偶數個，顯然要去取最中間的兩個數的平均值。

此時我們可以知道$n$的兩個因數$x,y$（假設$x<y$) 中$x$肯定是所有對中較小因數當中最大的那個.

根據數論知識和素數篩的方法，我們很容易想到去枚舉每個數較小的因數，然後不斷更新$a[i]$.最後遞推求和即可。

$ps:$其實兩種情況都可以通過枚舉較小因數，不用區分。

時間複雜度:$O(nlogn)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e6+5,mod=1e9+7,M=1e6;
int ans[N],a[N],n,t;
int main(){
	for(int i=1;i<=M;i++)
		for(int j=i;i*j<=M;j++){
			 a[i*j]=(i+j)/2;
		} 
	for(int i=1;i<=M;i++) ans[i]=(ans[i-1]+a[i])%mod;
	scanf("%d",&t);	
	while(t--){
		scanf("%d",&n);
		printf("%d\n",ans[n]);
	}
	return 0;
}