同余式与线性同余式定理

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同余式的定义与性质

整除性是数论的有利工具。下面介绍一种同余式理论，可以简便的表达整除性质。

如果 $m$ 整除 $a-b$ 那么定义：$a$ 与 $b$ 模 $m$ 同余，记为
$a\equiv b(\ mod\ m)$
特别的，如果 $a$ 除以 $m$ 得余数 $r$ ，则 $a$ 与 $r$ 模 $m$ 同余。余数满足 $0\leq r<m$ ，故每个整数必与 $[0,m-1]$ 之间的一个数模 $m$ 同余

具有相同模的同余式满足加法和乘法 ：
$a_1\equiv b_1(\ mod\ m),\quad a_2\equiv b_2(\ mod\ m)$
则：
$a_1+a_2\equiv b_1+b_2(\ mod\ m),\quad a_1a_2\equiv b_1b_2(\ mod\ m)$

但是如果 $ac\equiv bc(\ mod\ m)$ ，则 $a\equiv b(\ mod\ m)$ 未必成立。而且可能有 $uv\equiv 0(\ mod\ m)$ 但 $u\not\equiv0(\ mod\ m),v\not\equiv0(\ mod\ m)$ .但是，如果 $gcd(c,m)=1$，则可以从$ac\equiv bc(\ mod\ m)$ 两端消去 $c$ 。

证明：若 $gcd(c,m)=1$ 则 可以从$ac\equiv bc(\ mod\ m)$ 两端消去 $c$

由于
$m\mid(ac-bc)$

$m\mid c(a-b)$

又因为 $gcd(c,m)=1$ ，则根据线性方程定理：
$mx+cy=1$
必有整数解，方程两边同乘 $(a-b)$
$m(a-b)x+c(a-b)y=(a-b)$
有整数解。显然 $m\mid m(a-bx),m\mid c(a-b)y$ ，则：
$m\mid (a-b)$

根据同余式的定义，有：
$a=b(\ mod\ m)$

同余式方程、线性同余式定理

现有方程：
$ax\equiv c(\ mod\ m)$
应该如何求得其解呢？

该方程可以表示为：
$m\mid ax-c$
即存在 $y$ 使得 $ax-c=my$，即：
$ax-my=c$
这就将这一同余式方程转化为线性方程了，则该同余式方程有解的条件可以根据线性方程定理得出：

假设 $g=gcd(a,m)$, 当 $g\mid c$ 时，该方程有解。当方程有解时，使用欧几里得算法可以求出 方程 $au+mv=g$ 的一组解 $u=u_0, v=v_o$.由于此时 $g\mid c$ ，方程两边同乘 $c/g$ 得：
$a\frac{cu_0}g+m\frac{cv_0}g=c$
即：$x_0\equiv\frac{cu_0}g(\ mod\ m)$ 是同余式方程 $ax\equiv c(\ mod \ m)$ 的解。

这样，就求出了同余式方程的一个解，但是同余式方程往往不止一个解。假设 $x_1$ 是方程的另一个解，则 $ax_1\equiv ax_0(\ mod\ m)$ ,所以 $m$ 整除 $ax_1-ax_0$ 则：
$\frac m g \mid \frac{a(x_1-x_0)}g$
已知 $gcd(m/g,a/g)=1$ ，故 $m/g\mid(x_1-x_0)$ ，则存在整数 $k$ 使：
$x_1=x_0+k\frac m g$
上式中由 $m$ 的倍数所得的任何两个不同解被视为相同解。则正好有 g 个不同解，在 $k=0,0,\dots,g-1$ 处取得。

将结果总结成定理，就得到了线性同余式定理：

线性同余式定理 ：设 $a,c,m$ 是整数，$m>1$ 且设 $g=gcd(a,m)$

1. 如果 $g\nmid c$ 则同余式 $ax\equiv c(\ mod\ m)$ 无解

2. 如果 $g\mid c$ 则同余式 $ax\equiv c(\ mod\ m)$ 有 $g$ 个不同解

要求方程的解，首先使用线性方程定理求 $au+mv=g$ 的一个解 $(u_0,v_0)$ 则 $x_0=cu_0/g$ 是 $ax\equiv c(\ mod\ m)$ 的一个解。

不同余的完全集由
$x\equiv x_0+k\frac m g,\quad k=0,1,\dots,g-1$
给出。

重要 ：线性同余式定理最重要的情形是 $gcd(a,m)=1$ 此时同余式方程只有一个解。我们将其写成分数：
$x\equiv \frac c a(\ mod\ m)$

线性同余式定理的编程实现

def linear_equ(a, b):
    if a == 0 or b == 0:
        return -1
    else:
        g, w = a, b
        x, v = 1, 0

        while w != 0:
            t = g % w
            s = x - (g // w) * v
            x, g = v, w
            v, w = s, t

        y = (g - a * x) // b
        return g, x, y


def linear_congruence(a, c, m):
    g, u, v = linear_equ(a, m)
    print(g)
    if c % g == 0:
        x0 = [c * u // g]
        for k in range(g - 1):
            x0.append(x0[0] + k * m // g)
        return x0
    else:
        return -1


a = int(input())
c = int(input())
m = int(input())

print(linear_congruence(a, c, m))

参考文献：A Brief Introduction to Number Theory --Joseph H.Silverman