矩陣論筆記(一) - 線性空間、線性子空間、矩陣的值域和核空間

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1.線性空間

1.1 線性空間的定義

設非空集合$V$，一個數域$K$，$x,y,z \in V$， $k,l\in K$，如果$V$滿足加法封閉和數乘封閉，則稱$V$爲線性空間。

1. 加法封閉： 加法交換律、加法結合律、零向量、負向量。
2. 數乘封閉： 數對元素的分配律、元素對數的分配律、數因子結合律、單位向量。

1.2 線性空間的性質

1. 零元素唯一
2. 任一元素的負元素唯一
3. 設 數$k,0,1\in K$，向量$x, 0, -x \in V$，有：
   • $0x=0$
   • $(-1)x=-x$
   • $k0=0$
   • 若 $kx=0$, 則 $k=0$ 或 $x=0$

1.3 線性空間的維數

線性空間$V$中線性無關向量組所含向量最大個數$n$，稱爲$V$的維數，記作 $dimV = n$。

$n$ 維線性空間記作$V^n$。

1.4 線性空間的基

$n$維線性空間中，任意$n$個線性無關的向量 $x_1,x_2,...,x_n$，構成該空間的一組基。這n個線性無關的向量稱作基向量。

空間中任意一個向量 $x$ 可由這組基唯一表示，即 $x=a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n$ 。
此時，稱 $a_1, a_2, ..., a_n$ 爲 $x$ 在該基下的座標，記爲$[a_1, a_2, ..., a_n]^T$。

向量$x$在基 $x_1,x_2,...,x_n$ 下的矩陣表示爲：
$x=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & ... & x_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ ...\\ a_n \end{bmatrix}$

1.5 基變換與座標變換

1.5.1 基變換：

設 $x_1,x_2,...,x_n$ 是 空間$V^n$ 的舊基，$y_1,y_2,...,y_n$ 是新基。新基可以用舊基表示爲
$\begin{bmatrix} y_1 & y_2 & ... & y_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & ... & x_nliangge \end{bmatrix} \cdot C_{n×n}$
其中，矩陣$C_{n×n}$爲 (舊基到新基的) 過渡矩陣。

1.5.2 座標變換：

向量$x$在舊基 $x_1,x_2,...,x_n$下的矩陣表示：
$x=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & ... & x_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ ...\\ a_n \end{bmatrix} \tag{1}$
其中 ，$[a_1, a_2, ..., a_n]^T$爲 $x$ 在基 $x_1,x_2,...,x_n$下的座標。

向量$x$在新基$y_1,y_2,...,y_n$下的矩陣表示：
$x=\begin{bmatrix} y_1 & y_2 & ... & y_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ ...\\ b_n \end{bmatrix} \tag{2}$
其中 ，$[b_1, b_2, ..., b_n]^T$爲 $x$ 在基 $y_1,y_2,...,y_n$下的座標。
由式(1)=式(2)，得
$\begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ ...\\ b_n \end{bmatrix}=C^{-1} \cdot \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ ...\\ a_n \end{bmatrix}$
稱作 向量$x$在基變換C下的座標變換公式。

個人理解：

1. 對線性空間作變換，也就是對線性空間的基做變換。（這是因爲，線性空間中的任一向量都能由該空間的一組基線性表示，即一組基可決定一個空間。但是，一個空間可對應不同的多組基）
2. 線性空間中的一個向量本身是不變的，但對基作變換後，基改變，從而基下的座標改變，稱爲座標變換，即，同一向量在不同基下的表示是不同的。

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2. 線性子空間

2.1 定義

$V_1$是線性空間$V$的非空子集和，$V_1$中滿足數乘封閉和加法封閉，則稱$V_1$是$V$的線性子空間或子空間。

個人理解：三維空間中的一個過原點的二維平面，或一條過原點的直線，都是該三維空間中的線性子空間。這兩個子空間也滿足數乘封閉和加法封閉。

2.2 性質

• 線性子空間也是線性空間。（定義中滿足數乘、加法封閉，即線性子空間首先要是線性的）
• 非零線性空間的平凡子空間：線性空間自身以及零空間he。
• 一個線性空間的子空間，其維數小於等於線性空間的維數（顯然）。

延伸：n元齊次線性方程組的解空間 $W$ 是 $n$維向量空間 $V^n$ 的一個子空間。方程組的基礎解系就是解空間的基。

2.3 子空間的運算

2.3.1 和空間

$V_1 +V_2 = \left \{ x_1 + x_2 \ | \ x_1 \in V_1, x_2 \in V_2 \right \}$

2.3.2 交空間

$V_1 \cap V_2 = \left \{ a \ | \ a \in V_1 且 a \in V_2 \right \}$

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3. 矩陣的值域、核空間

3.1 向量張成的空間

$x_1,x_2,...,x_n$張成的空間，記爲
$V_1=L(x_1, x_2, ..., x_n)=\left \{ k_1x_1 + k_2x_2 + ... + k_nx_n \right \}$其中$k_i$爲常數。

個人理解：類似以向量組爲基所生成的空間。

3.2 矩陣的值域

矩陣 $A\in C^{m×n}$的 $n$ 個列向量爲 $a_1, a_2, ..., a_n$，則矩陣A的值域爲$R(A)=L(a_1, a_2, ..., a_n)=\left \{ y\ | \ y=Ax\right \}$

個人理解：矩陣的值域是 矩陣中的所有列向量所張成的空間。
若把 $A$ 看作一種線性變換，那麼矩陣的值域 $y=Ax$ 爲線性空間中的原向量 $x$ 經線性變換後所得到的象。

3.3 矩陣的核空間

$N(A) = \left \{ x\ | \ Ax=0 \right \}$
核空間也叫零空間，零空間的維數爲零度，記作 $n(A)$ 。

個人理解：使 $Ax=0$ 成立的 $x$。
若把 $A$ 看作一種線性變換， 那麼矩陣的核是經過線性變換後變爲零向量的向量（原象）。