二進制、八進制、十六進制、十進制之間的轉換
1. 將二進制、八進制、十六進制轉換爲十進制
二進制、八進制和十六進制向十進制轉換都非常容易,就是“按權相加”。所謂“權”,也即“位權”。
假設當前數字是 N 進制,那麼:
- 對於整數部分,從右往左看,第 i 位的位權等於Ni-1
- 對於小數部分,恰好相反,要從左往右看,第 j 位的位權爲N-j。
更加通俗的理解是,假設一個多位數(由多個數字組成的數)某位上的數字是 1,那麼它所表示的數值大小就是該位的位權。
1) 整數部分
例如,將八進制數字 53627 轉換成十進制:
53627 = 5×84 + 3×83 + 6×82 + 2×81 + 7×80 = 22423(十進制)
從右往左看,第1位的位權爲 80=1,第2位的位權爲 81=8,第3位的位權爲 82=64,第4位的位權爲 83=512,第5位的位權爲 84=4096 …… 第n位的位權就爲 8n-1。將各個位的數字乘以位權,然後再相加,就得到了十進制形式。
注意,這裏我們需要以十進制形式來表示位權。
再如,將十六進制數字 9FA8C 轉換成十進制:
9FA8C = 9×164 + 15×163 + 10×162 + 8×161 + 12×160 = 653964(十進制)
從右往左看,第1位的位權爲 160=1,第2位的位權爲 161=16,第3位的位權爲 162=256,第4位的位權爲 163=4096,第5位的位權爲 164=65536 …… 第n位的位權就爲 16n-1。將各個位的數字乘以位權,然後再相加,就得到了十進制形式。
將二進制數字轉換成十進制也是類似的道理:
11010 = 1×24 + 1×23 + 0×22 + 1×21 + 0×20 = 26(十進制)
從右往左看,第1位的位權爲 20=1,第2位的位權爲 21=2,第3位的位權爲 22=4,第4位的位權爲 23=8,第5位的位權爲 24=16 …… 第n位的位權就爲 2n-1。將各個位的數字乘以位權,然後再相加,就得到了十進制形式。
2) 小數部分
例如,將八進制數字 423.5176 轉換成十進制:
423.5176 = 4×82 + 2×81 + 3×80 + 5×8-1 + 1×8-2 + 7×8-3 + 6×8-4 = 275.65576171875(十進制)
小數部分和整數部分相反,要從左往右看,第1位的位權爲 8-1=1/8,第2位的位權爲 8-2=1/64,第3位的位權爲 8-3=1/512,第4位的位權爲 8-4=1/4096 …… 第m位的位權就爲 8-m。
再如,將二進制數字 1010.1101 轉換成十進制:
1010.1101 = 1×23 + 0×22 + 1×21 + 0×20 + 1×2-1 + 1×2-2 + 0×2-3 + 1×2-4 = 10.8125(十進制)
小數部分和整數部分相反,要從左往右看,第1位的位權爲 2-1=1/2,第2位的位權爲 2-2=1/4,第3位的位權爲 2-3=1/8,第4位的位權爲 2-4=1/16 …… 第m位的位權就爲 2-m。
更多轉換成十進制的例子:
- 二進制:1001 = 1×23 + 0×22 + 0×21 + 1×20 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9(十進制)
- 二進制:101.1001 = 1×22 + 0×21 + 1×20 + 1×2-1 + 0×2-2 + 0×2-3 + 1×2-4 = 4 + 0 + 1 + 0.5 + 0 + 0 + 0.0625 = 5.5625(十進制)
- 八進制:302 = 3×82 + 0×81 + 2×80 = 192 + 0 + 2 = 194(十進制)
- 八進制:302.46 = 3×82 + 0×81 + 2×80 + 4×8-1 + 6×8-2 = 192 + 0 + 2 + 0.5 + 0.09375= 194.59375(十進制)
- 十六進制:EA7 = 14×162 + 10×161 + 7×160 = 3751(十進制)
2. 將十進制轉換爲二進制、八進制、十六進制
將十進制轉換爲其它進制時比較複雜,整數部分和小數部分的算法不一樣,下面我們分別講解。
1) 整數部分
十進制整數轉換爲 N 進制整數採用“除 N 取餘,逆序排列”法。具體做法是:
- 將 N 作爲除數,用十進制整數除以 N,可以得到一個商和餘數;
- 保留餘數,用商繼續除以 N,又得到一個新的商和餘數;
- 仍然保留餘數,用商繼續除以 N,還會得到一個新的商和餘數;
- ……
- 如此反覆進行,每次都保留餘數,用商接着除以 N,直到商爲 0 時爲止。
把先得到的餘數作爲 N 進制數的低位數字,後得到的餘數作爲 N 進制數的高位數字,依次排列起來,就得到了 N 進制數字。
下圖演示了將十進制數字 36926 轉換成八進制的過程:
從圖中得知,十進制數字 36926 轉換成八進制的結果爲 110076。
下圖演示了將十進制數字 42 轉換成二進制的過程:
從圖中得知,十進制數字 42 轉換成二進制的結果爲 101010。
2) 小數部分
十進制小數轉換成 N 進制小數採用“乘 N 取整,順序排列”法。具體做法是:
- 用 N 乘以十進制小數,可以得到一個積,這個積包含了整數部分和小數部分;
- 將積的整數部分取出,再用 N 乘以餘下的小數部分,又得到一個新的積;
- 再將積的整數部分取出,繼續用 N 乘以餘下的小數部分;
- ……
- 如此反覆進行,每次都取出整數部分,用 N 接着乘以小數部分,直到積中的小數部分爲 0,或者達到所要求的精度爲止。
把取出的整數部分按順序排列起來,先取出的整數作爲 N 進制小數的高位數字,後取出的整數作爲低位數字,這樣就得到了 N 進制小數。
下圖演示了將十進制小數 0.930908203125 轉換成八進制小數的過程:
從圖中得知,十進制小數 0.930908203125 轉換成八進制小數的結果爲 0.7345。
下圖演示了將十進制小數 0.6875 轉換成二進制小數的過程:
從圖中得知,十進制小數 0.6875 轉換成二進制小數的結果爲 0.1011。
如果一個數字既包含了整數部分又包含了小數部分,那麼將整數部分和小數部分開,分別按照上面的方法完成轉換,然後再合併在一起即可。例如:
- 十進制數字 36926.930908203125 轉換成八進制的結果爲 110076.7345;
- 十進制數字 42.6875 轉換成二進制的結果爲 101010.1011。
下表列出了前 17 個十進制整數與二進制、八進制、十六進制的對應關係:
十進制 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
二進制 | 0 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 | 10000 |
八進制 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 20 |
十六進制 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 |
注意,十進制小數轉換成其他進制小數時,結果有可能是一個無限位的小數。請看下面的例子:
- 十進制 0.51 對應的二進制爲 0.100000101000111101011100001010001111010111...,是一個循環小數;
- 十進制 0.72 對應的二進制爲 0.1011100001010001111010111000010100011110...,是一個循環小數;
- 十進制 0.625 對應的二進制爲 0.101,是一個有限小數。
3. 二進制和八進制、十六進制的轉換
其實,任何進制之間的轉換都可以使用上面講到的方法,只不過有時比較麻煩,所以一般針對不同的進制採取不同的方法。將二進制轉換爲八進制和十六進制時就有非常簡潔的方法,反之亦然。
1) 二進制整數和八進制整數之間的轉換
二進制整數轉換爲八進制整數時,每三位二進制數字轉換爲一位八進制數字,運算的順序是從低位向高位依次進行,高位不足三位用零補齊。下圖演示瞭如何將二進制整數 1110111100 轉換爲八進制:
從圖中可以看出,二進制整數 1110111100 轉換爲八進制的結果爲 1674。
八進制整數轉換爲二進制整數時,思路是相反的,每一位八進制數字轉換爲三位二進制數字,運算的順序也是從低位向高位依次進行。下圖演示瞭如何將八進制整數 2743 轉換爲二進制:
從圖中可以看出,八進制整數 2743 轉換爲二進制的結果爲 10111100011。
2) 二進制整數和十六進制整數之間的轉換
二進制整數轉換爲十六進制整數時,每四位二進制數字轉換爲一位十六進制數字,運算的順序是從低位向高位依次進行,高位不足四位用零補齊。下圖演示瞭如何將二進制整數 10 1101 0101 1100 轉換爲十六進制:
從圖中可以看出,二進制整數 10 1101 0101 1100 轉換爲十六進制的結果爲 2D5C。
十六進制整數轉換爲二進制整數時,思路是相反的,每一位十六進制數字轉換爲四位二進制數字,運算的順序也是從低位向高位依次進行。下圖演示瞭如何將十六進制整數 A5D6 轉換爲二進制:
從圖中可以看出,十六進制整數 A5D6 轉換爲二進制的結果爲 1010 0101 1101 0110。
在C語言編程中,二進制、八進制、十六進制之間幾乎不會涉及小數的轉換,所以這裏我們只講整數的轉換,大家學以致用足以。另外,八進制和十六進制之間也極少直接轉換,這裏我們也不再講解了。
總結
本節前面兩部分講到的轉換方法是通用的,任何進制之間的轉換都可以採用,只是有時比較麻煩而已。二進制和八進制、十六進制之間的轉換有非常簡潔的方法,所以沒有采用前面的方法。