(三)证明不等式|(e-(1+1/n)^n)|

证明不等式

|e−(1+1n)n|<3n

证明：
由(二)证明数列{(1+1/n)^(n+1)}为递减数列可得

e<(1+1n)n+1=(1+1n)n(1+1n)

可得

e−(1+1n)n<1n(1+1n)n

只要证明

(1+1n)n<3

当n=1时显然成立
当n>=2时，由于

(1+1n)n=c0n+c1n1n+c2n1n2+...+ckn1nk+...+cnn1nn

因为

ckn1nk=n(n−1)...(n−k+1)k!·1nk

ckn1nk=1k!·nn·n−1n·n−2n...n−k+1n<1k!<=12k−1;(2<=k<=n)

所以

(1+1n)n<1+12+121+...+12n−1=1+(1−12n)1−12

(1+1n)n<3−12n−1<3

所以

|e−(1+1n)n|<3n